Проблема объективности истинности математики

Тезис № 1. Предмет математики, её философские и теоретические обоснования.

Вопрос о предмете математики, её теоретических и философских обоснованиях является чрезвычайно сложным и неоднозначным, а потому устойчивые сложившиеся направления в математике по-разному отвечают на эти вопросы.

Тезис № 2. Направления.

В математике сложились следующие направления в понимании её предмета и проблем, а именно

1) первое направление получило название логицизм;

2) интуиционизм;

3) развитая форма интуиционизма (некоторые полагают, что это отдельное направление) – конструктивизм;

4) формализм.

Тезис № 3. Логицизм.

Основателями этого направления являются Бертран Рассел, Карл Гемпель, Рудольф Карнап и другие математики.

Согласно логицизму в лице Рассела, логика – это юность математики, а современная математика – это зрелость логики!

Гемпель и Карнап полагают, что программа логицизма включает в себя три положения:

1) все понятия математики определяются в терминах понятий логики;

2) все теоремы математики выводятся из логических аксиом;

3) по существу критерием объективности и истинности математики с позиций логицизма является логическая выводимость и его непротиворечивость.

Таким образом, логицизм редуцирует математику к логике, а поскольку математика состоит из неоднородных элементов, то логицисты поставили перед собой задачу свести математику к единому началу – арифметике, в этом аспекте свести всю математику к натуральному числу.

В этом смысле немецкие математики Грассман и Вейерштрасс свели рациональные(?) числа к натуральным, а затем и иррациональные числа были интерпретированы как множество упорядоченных пар рациональных чисел.

Наконец, большую роль в обосновании логицизма сыграла теория множеств, математик Кантор и др., в этом смысле Пуанкаре в своё время заявил «теперь в анализе остались только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств. Математика, как говорят, арифметизировалась».

По мнению выдающегося логициста Фрега, сама логика не говорит ничего о мире и представляет собой аналитические высказывания и тавтологии, их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, от того они истинны во всех возможных мирах.

Тезис № 4. Интуиционизм.

Основателями интуиционизма являются математики Брауэр, Вейн, Гейтинг и др. Они резко выступили против логицизма в математике, математические мысли не сводимы к логике, а тем более к математическому и логическому языку, который является подчас исторически конкретным, а значит несовершенным. Математика не опирается ни на логику, ни на язык. Она не вербализуема и основывается на творческой интеллектуальной интуиции.

В частности, Брауэр писал, что математические мысли рождаются вне слов, слова же используются только для передачи мысли, а математическое содержание не зависит от словесного одеяния. Мысли нельзя выразить адекватно в языке, даже в математическом, поскольку он, язык, вносит отклонения от предмета. Согласно интуиционистам, не математика была выведена из логики, а как раз наоборот логика есть часть математики и была абстрагирована от последней, а именно абстрагирована от математики конечных множеств.

Вейн справедливо полагает, что математика есть определённое (основное) представление о бесконечном.

Тезис № 5. Конструктивизм.

Представления интуиционизма были развиты направлением конструктивизма, выдающимися представителями которого являются А.А. Марков, Н.А. Шанин, А.Н. Колмогоров и его школы.

В частности, Шанин полагает, что в конструктивизме важным является не предмет математического исследования как таковой, а средства, алгоритмы, конструкты для решения тех или иных математических задач. В этом аспекте в противовес логицистам, стоящим на позициях актуальной бесконечности, конструктивисты обосновывают идею потенциальной бесконечности или потенциальной осуществимости бесконечности. Для этого нужно проделать 4 шага:

1. Вводим в наряду с реальной бесконечностью математическую бесконечность как возможность.

2. Мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной. При этом рассуждаем об этом воображаемом представлении, применяя методы классической логики.

3. Полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных операций.

4. Принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями, даже и своим происхождением.

Вейн, разъясняя смысл интуиционизма, писал, что «для математика совершенно безразлично, что такое окружность, для него принципиально знать, каким образом задана окружность». Согласно Вейну, логицисты требуют дедуцировать все производные понятия из исходных, а мы, интуиционисты, полагаем, что понятия должны не выводиться, а порождаться, поэтому не аксиоматический метод построения теории, не дедукция, а конструкция, генетический метод.

Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и в свою очередь столь же однозначно детерминирует следующий шаг, т.е. мы знаем, что и в какой последовательности надо делать: умножение, извлечение корня и т.д.

Таким образом, конструктивизм несколько смягчил позицию интуиционизма, однако в целом предстаёт как направление математики, которое можно поименовать как антилогицизм.

Тезис № 6. Формализм как направление в математике.

Формализм как направление математики был основан выдающимися математиками в начале прошлого века Гильбертом, Аккерманом, Бернайсом и фон Нейманом.

Основные идеи формализма сложились у Гильберта в 1902–1904 гг., а более строгое изложение доктрины формализма обнаруживается в 1904 г., когда вышел первый том «Основания математики». Гильберт и его сторонники подвергают жесточайшей критике интуиционизм и полагают, что сводить предмет математики к вещам реального мира, а гносеологически видеть источник математического знания в интеллектуальной интуиции неверно. Математика оперирует отнюдь не реальными вещами, а знаками, и потому доказательство непротиворечивости математики, её формального исчисления и является решающим ключом к обоснованию математики.

Согласно Гильберту, в качестве исходных образований в математике фигурируют абстрактные математические символы и сочетания этих символов, поэтому основная мысль моей теории доказательства такова, все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. В этом аспекте, по Гильберту, формализованная или формализуемая аксиоматика позволяет провести прямое доказательство её непротиворечивости – это есть абсолютное доказательство математики или абсолютное доказательство непротиворечивости формальных систем. Это доказательство имеет свой алгоритм, состоящий из трёх шагов:

1) предъявляется формула;

2) доказывается, что из предъявленной формулы следует другая (по заданным правилам);

3) предъявляется новая формула.

Вывод: манипуляция символами по правилам формализованной системы никогда не приведёт к противоречию. Таким образом, в формализме обоснование математики по существу сводится 1) к формализованному доказательству и 2) к критерию абсолютной непротиворечивости формализованной системы.

Тезис № 7. Формализм. Теоремы Гёделя.

В 1931 г. немецкий математик Гёдель, а позднее польский математик Гарский и др. подвергли критике принцип непротиворечивости формализованных систем, что нашло своё отражение в первой и второй теоремах Гёделя.

Теорема № 1. Любая логическая система, настолько богатая, чтобы содержать формализованную арифметику, либо противоречива, либо включает хотя и истинную, но неразрешимую формулу – теорема о неполноте формализованной арифметике.

Теорема № 2. Не существует доказательства непротиворечивости формализованной арифметики, которое можно было бы провести средствами самой системы.

Таким образом, формализм, пытаясь обосновать математику, исходя из неё самой, по существу подменил сложнейшую проблему истинности математических высказываний и исчислений требованием непротиворечивости формализованных систем.

Разумеется, математика исследует так называемые идеальные объекты, истинность которых интерпретируется иерархией других, более конкретных математических теорий, а в конечном целом истинность математики подтверждается всей совокупностью человеческой предметно-практической деятельности людей.