Глава 4. Применение законов квантовой физики в физических измерениях

1. Основные законы квантовой физики

Несовместимость теории электромагнетизма с принципом относительности Галилея, которая в итоге разрешилась открытием теории относительности – отнюдь не единственная глобальная проблема, с которой физики столкнулись на рубеже веков. Следующие проблемы физики не могли быть объяснимы существующей на тот момент классической физикой:

1. Тепловое излучение абсолютно черного тела.

2. Фотоэффект

3. Удельную теплоемкость газов и твердых тел, а также зависимость удельной теплоемкости от температуры, удельные теплоемкости оказывались ниже предсказываемых кинетической теорией.

4. Модель строения атома

5. Линейчатый спектр излучения атомов

6. Тождественность всех атомов одного и того же элемента.

7. Радиоактивность

Непонятны были все внутренние свойства вещества – оптические, магнитные и т.д.

Тепловое излучение абсолютно черного тела. Испускаемый источником свет уносит с собой энергию. Существует много различных механизмов сообщения энергии источнику света. В тех случаях, когда необходимая энергия сообщается нагреванием, т.е. подводом тепла, излучение называется тепловым или температурным. При определенной температуре тело находится в тепловом равновесии, т.е. подводимая энергия равна излучаемой. Эксперименты показывают, что тепловое излучение имеет непрерывный спектр. Это означает, что нагретое тело испускает некоторое количество энергии излучения в любом диапазоне частот или длин волн. Излучательная способность r тела есть функция длины волны и температуры. Поглощательная способность тела а (отношение поглощенного потока излучения к падающему) также есть функция длины волны и температуры.

Абсолютно черное тело - тело, полностью поглощающее излучение любого спектрального состава. Абсолютно черных тел в природе не бывает. Хорошей моделью такого тела является небольшое отверстие в замкнутой полости (рис.4.1).

Если полость нагрета до определенной температуры T, и внутри установилось тепловое равновесие, то собственное излучение полости, выходящее через отверстие, будет излучением абсолютно черного тела. С увеличением температуры внутри полости будет возрастать энергия выходящего из отверстия излучения, и изменяться его спектральный состав.

К концу XIX века были установлены следующие закономерности этого излучения:

Закон Кирхгофа. Отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково для всех тел в природе, является одной и той же универсальной функцией длины волны и температуры и эта функция - излучательная способность абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана. Интегральная светимость R(T) (или энергия излучения) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры T: , σ=5,671·10^–8Вт ∙К⁴/м². При каждом значении температуры T зависимость r(λ, T) имеет ярко выраженный максимум (рис.4.2). С увеличением температуры максимум смещается в область коротких длин волн.

Закон смещения Вина: произведение температуры T на длину волны λ_m, соответствующую максимуму, остается постоянным: Значение постоянной Вина: b=2,898·10^–3м·К.

Эти частные законы не позволяли, однако, получить математическое описание всей кривой спектрального распределения излучения черного тела r(λ, T). Теоретическая зависимость r(λ, T), полученная физиками Релеем и Джинсом на основе законов термодинамики и статистической физики давали выражение r(λ, T)=8πkTλ, функцию, изображенную на рис.4.3. пунктиром.

Функция Рэлея-Джинса отвечает классическим представлениям о процессе излучения а.ч.т. Внутри тела все частицы вещества при температуре больше 0К постоянно колеблются. Поэтому их можно представить в виде наборов маятников с различными собственными частотами (или длинами волн) (рис.4.4).

В условиях теплового равновесия (энергия внутри полости сохраняется) в полости устанавливаются стоячие волны . Количество стоячих волн, приходящихся на определенный интервал длин волн (или частотный интервал) зависит от длины волны. Наибольшее количество волн будет приходиться на коротковолновый диапазон, наименьшее на длинноволновый. При сообщении системе определенного количества энергии она распределяется поровну между всеми группами маятников. Максимум излучательной способности должен приходиться на область коротких длин волн, а минимум – на область длинных волн.

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Противоречие было разрешено созданием квантовой теории, предложенной Планком. В основе лежит предположение, что энергия электромагнитной волны может изменяться только целыми порциями, а минимальная энергия, которую может нести волна, пропорциональна ее частоте Е=h. Коэффициент пропорциональности между минимальной энергией волны Е и ее частотой получил название постоянная Планка (h=6,626·10^–34Дж·с). Таким образом, Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения нагретым телом электромагнитной энергии, происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела, которая хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах . Здесь: c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура. Формула прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν<<kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Если рассмотреть модель с маятниками с предложенной Планком позиции, то мы должны сделать вывод, что сообщаемая энергия неравномерно распределится между группами маятников. Для колебаний средневолновых маятников требуется относительно небольшая энергия, но, так как их больше, чем длинноволновых, то на эту группу должен приходиться максимум излучения. При увеличении температуры в процесс движения включаются маятники с короткими длинами волн, именно поэтому максимум смещается в область более коротких длин волн. Постоянная Планка – это универсальная константа, которая в квантовой физике играет ту же роль, что и скорость света в СТО.

Фотоэффект. Явление фотоэлектрического эффекта (фотоэффекта) заключается в вырывании электронов с поверхности металла под действием света. Для того, чтобы электроны вырвались за пределы металла, им необходимо сообщить определенную энергию. Казалось, что при увеличении интенсивности (яркости) света скорость электронов (их кинетическая энергия) должна возрастать, поскольку свет будет нести больше энергии. Увеличение частоты падающего света должно бы приводить к меньшей энергии выбитых электронов, так как электроны вследствие инерции не успевают реагировать на изменение вектора Е.

Однако скорость оставалась постоянной, но увеличивалось количество электронов, скорость же увеличивалась только при увеличении частоты света. При уменьшении частоты наступал момент, когда электроны перестают вылетать (их скорость вылета падает ниже нуля). В таблице представлены зависимости, предсказываемые классической физикой и полученные экспериментально.

Представление классической теории	Экспериментальные данные
Екин. , где I – интенсивность света	Екин. ≠ f(I)
Екин.	Екин.
	Кол-во электронов Ne

Эйнштейн решил распространить дискретную модель энергии волны на свет. Он предположил, что свет представляет собой поток микроскопических частиц (названных фотонами), причем энергия каждого фотона пропорциональна частоте света W = h. Если такой квант поглощается одним из атомов металла, то энергия электрона увеличивается на энергию фотона, один из электронов выбрасывается и может вылететь вообще из металла. Часть полученной энергии (обозначим её A) электрон тратит на совершение работы по преодолению силы, удерживающей его в металле. Эта часть энергии называется работой выхода и зависит от вида металла. Остальная часть энергии выброшенного электрона преобразуется в его кинетическую энергию. Е_кин.= W– A. (см. рис.4.5).

Выражая энергию кванта через частоту, получаем для энергии выброшенного электрона (фотоэлектрона): Е_кин.= h– A. Эта энергия зависит от частоты света, но совершенно не зависит от его интенсивности. Чтобы вырваться с поверхности металла, электроны должны испытать соударение с фотонами, обладающими определенным минимумом энергии. Поэтому, если частота света будет слишком мала, то фотоны не будут нести энергию, достаточную для выбивания электронов из металла. Таким образом, Эйнштейн показал, что гипотеза Планка о дискретности энергии отражает фундаментальное свойство электромагнитных волн: они состоят из частиц — фотонов, которые представляют собой маленькие порции или кванты света.

Корпускулярно-волновой дуализм. Фотоэффект и опыт с двумя щелями показали, что фотоны обладают и волновыми и корпускулярными свойствами одновременно. Фактически приходилось признать двойственную природу электромагнитного поля.

Электромагнитные частицы – фотоны обладают массой и импульсом, который можно записать как . В 1923 Луи де Бройль распространил идею Эйнштейна о двойственной природе электромагнитного поля на вещество. Он предположил, что любые материальные частицы (например, электрон) обладают волновыми свойствами. Частице с энергией E и импульсом p де Бройль сопоставил волну частотой = E/h длиной волны = h/p. Любой физический объект, имеющий импульс, обладает волновыми свойствами. Связь между корпускулярными и волновыми свойствами частицы определяется формулой де Бройля:

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году американскими физиками К. Девиссоном и Л. Джермером, которые наблюдали дифракцию электронов на кристалле никеля. Схема опыта представлена на рис.4.6.

Параллельный моноэнергетический пучок электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направляется на мишень 2 (монокристалл никеля). Отраженные электроны улавливаются коллектором 3, соединенным с гальванометром. Коллектор можно устанавливать под любым углом относительно падающего луча. Было обнаружено, что пучок электронов, рассеивающийся на кристалле никеля, дает отчетливую дифракционную картину, подобную той, которая возникает при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. В этих экспериментах кристалл играл роль естественной дифракционной решетки.

В опыте Девиссона и Джермера при энергии электрона 54 эВ длина волны электрона, вычисленная по первому дифракционному максимуму, равнялась 0,167 нм, что соизмеримо с постоянной решетки никеля. Все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку "поодиночке". Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. Последовательное попадание на фотопластинку все бóльшего и бóльшего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

Физический смысл волн де Бройля. В классической физике поведение объекта описывается законами Ньютон, для описания волнового движения используется уравнение Даламбера. Для простейшего случая одномерной волны (струна гитары) оно называется также уравнением колебания струны и записывается в виде , где v– фазовая скорость, u – неизвестная функция. Австрийский физик Эрвин Шредингер предложил дифференциальное уравнение для расчета этих волн де Бройля. Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида , где — постоянная Планка, — масса частицы, — потенциальная энергия, — полная энергия, — волновая функция. Эти волны должны интерпретироваться как волны вероятности: вероятность обнаружить электрон в заданной точке равна квадрату амплитуды его волны в этой точке.

Таким образом, поведение микрочастиц носит вероятностный характер, а волна де Бройля - математический инструмент для расчета этой вероятности. Более строго вероятность попадания микрочастицы в ту или иную область пространства рассчитывается с помощью так называемой волновой, или пси-функции. Физический смысл имеет квадрат амплитуды этой функции - квадрат модуля волновой функции в точке х есть плотность вероятности того, что координата имеет значение х. Уравнение Шредингера следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. Квантовые эффекты, предсказанные с помощью уравнения Шредингера, лежат в основе многих технических устройств, приборов и технологий.

Принцип неопределенности – принцип Гейзенберга. Идеи корпускулярно-волнового дуализма привело к пересмотру привычных представлений о движении частиц и способа описания частиц. Для классических материальных точек характерно движение по определенным траекториям, так, что их координаты и импульсы в любой момент времени точно известны. Для квантовых частиц это утверждение неприемлемо, так как поведение квантовой частицы носит вероятностный характер. В импульсном представлении: – плотность вероятности того, что частица имеет импульс p. С большой вероятностью импульс частицы принадлежит области размером p (неопределённость импульса)- рис. а. В пространственном представлении плотность вероятности того, что координата имеет значение х. С большой вероятностью координата частицы принадлежит области размером х (неопределённость координаты).

Для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса. Если частица занимает точно определенное положение в пространстве, то ее импульс полностью не определен и наоборот, частица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. Все это в 1927 побудило Гейзенберга сформулировать соотношение неопределенностей: точность определения положения обратно пропорциональна точности определения скорости (импульса), а коэффициент пропорциональности равен постоянной Планка: (Более точно ). Принцип неопределенности в координатном и импульсном представлении поясняется рис.4.7.

Принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. В частности, если время жизни некоторого состояния равно t, то неопределенность величины энергии этого состояния E не может быть меньше E/, т.е. ∆Е.