BiometriaKnuga
.pdf
36 |
|
Біометрія |
|
•маса зернин у колосі – Z;
•варіанти (результати конкретних замірів) позначаються звичайними (рядковими) літерами. Наприклад:
•довжини окремих колосків: х1, х2, х3, ...;
•кількість зернин в окремих колосках: y1, y2, y3, ...;
•маса зерен у колосках: z1, z2, z3, ...;
•середні значення відповідної ознаки позначаються як: x, y, z, ...;
•частота, вага, повторність позначається літерою р;
•об’єм сукупності позначається літерами N або n.
Як правило, N означає об’єм генеральної сукупності, n – об’єм вибіркової сукупності.
Зрозуміло, що загальна сума частот дорівнює об’єму сукупності, тобто Σ
р= n.
Увипадках, коли частоти представлені у відносному значенні, тобто в %, вони звуться "відносними частотами" або "частковостями", і визначені як
Існують два види варіаційних рядів
– безінтервальні та інтервальні.
Безінтервальні – це такі ряди, в яких значення ознаки (х) представлені лише конкретними цілими числами. Наприклад: число бактерій в краплинах води:
Число |
бактерій в краплині води |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
Число досліджених краплин (р) |
5 |
2 |
1 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Або при дослідженні особливості будови вугрів:
Число хребців вугра (х) |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
Кількість особин (р) |
1 |
8 |
19 |
17 |
12 |
|
|
|
|
|
|
Інтервальні ряди – це такі ряди, в яких значення ознаки, що
Розділ 3. СтатистичнаЕкологія сукупність випадкових подій та її особливості |
|
37 |
|
||
|
|
|
досліджується, (х) представлено у відповідних межах (від ... і до ...), а в цих
межах фіксуються відповідні варіанти (у). Наприклад, при вивченні значень |
||||||
діаметрів |
|
|
|
|
|
|
Діаметри дерев (см) (х) |
6-8 |
9-11 |
12-14 15-17 |
|||
дерев слід |
||||||
Число дерев з такими діаметрами (р) |
4 |
8 |
3 |
2 |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
враховувати:
Як бачимо, у варіанті складання інтервальних рядів уся варіація ознаки
від мінімальної (min) |
до |
xmax |
− xmin |
максимальної |
(max) (розмах |
||
розподілу) ділиться |
на i = |
відповідні інтервали (6-8, 9- |
|||||
1+ 3,32 lg n |
|||||||
11 і т.д.). Ці інтервали |
мають ще назву – класи. Іноді |
||||||
об’єднують: "класовий інтервал". |
|
|
|
|
|||
Кількість класів (і) |
|
|
|
визначається |
за формулою |
||
Г.А.Стерджеса (1926) |
|
xmax |
− xmin |
|
|
|
|
|
i = |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
5lgn
або за формулою К. Брукса і Н. Карузерса (1963)
Після цього всі варіанти за своїм значенням поділяються за класами. Визначаються середні значення класів, які набувають значення окремих варіант (хі), і визначаються їх частоти (р) як кількість об'єктів, розміри яких знаходяться в межах даного класу. Ці частоти звуться класовими варіантами на відміну від конкретних варіант у розгляданому вище прикладі
безінтервальних рядів. |
xMAX |
− xMIN |
|
|
|
|
Розглянемо приклад i = |
= 8,6. |
одержання |
інтервального |
|||
|
|
|||||
ряду розподілу за даними |
1+ 3,32lgn |
обміру 200 |
дерев у 30- |
|||
|
|
|
||||
річному штучно створеному деревостані сосни звичайної:
•мінімальне значення варіанти – 2,0 см;
38 |
|
|
|
|
|
Біометрія |
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
Таблиця 1. Приклад варіаційного інтервального ряду розподілу |
|
|||||
Значення |
Серединні |
Частоти (р) |
Відносна частота Накопичення |
|||
класу, см |
значення класу |
|
(частковість), % |
частот, % |
||
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
– 5,9 |
3,9 |
2 |
1 |
1 |
|
6,0 |
– 9,9 |
7,9 |
18 |
9 |
10 |
|
10,0 |
– 13,9 |
11,9 |
44 |
22 |
32 |
|
14,0 |
– 17,9 |
15,9 |
48 |
24 |
56 |
|
18,0 |
– 21,9 |
19,9 |
36 |
18 |
74 |
|
22,0 |
– 25,9 |
23,9 |
28 |
14 |
88 |
|
26,0 |
– 29,9 |
27,9 |
12 |
6 |
94 |
|
30,0 |
– 33,9 |
31,9 |
6 |
3 |
97 |
|
34,0 |
– 37,9 |
35,9 |
4 |
2 |
99 |
|
38,0 |
– 41,9 |
39,9 |
2 |
1 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ р = 200 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•максимальне значення варіанти – 41,3 см;
•розмах розподілу: хmax – xmin = 41,3 – 2,0 = 39,3 см.
• |
|
значення класу: 39,3 : 8,6 = 4,6 ≈ 5. |
|
|
|
|
|
||||
• |
|
варіаційний інтервальний ряд розподілу (табл. 1). |
|
|
|
||||||
Аналіз |
варіаційних |
рядів означає в |
першу чергу аналіз |
розподілу |
|||||||
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кількість, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,9 |
7,9 |
11,9 |
15,9 |
19,9 |
23,9 |
27,9 |
31,9 |
35,9 |
39,9 |
|
|
|
|
|
Діаметр, см |
|
|
|
|
||
Рис. 1. Гістограма розподілу діаметрів дерев
Розділ 3. СтатистичнаЕкологія сукупність випадкових подій та її особливості |
|
39 |
|
||
|
|
|
результатів спостереження або замірів (варіант) біологічного об’єкту досліджень. Для цього дані варіаційного ряду доцільно представити в графічному зображенні. Найбільш простими графіками вважаються такі, де дані розподілу представлені у вигляді гістограм або полігонів (рис. 1). На рис. 1 бачимо, що найбільша кількість дерев сконцентрована в класах з середніми значеннями 11,9; 15,9; 19,9 см, в класах із меншим і з більшим середнім
Накопичення частот, %
120
100
80
60
40
20
0
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
Серединні значення класів варіант, см
Рис. 2. Кумулята варіаційного ряду діаметрів дерев
значенням діаметра дерев кількість дерев зменшується.
Більш складне зображення даних варіаційного ряду у вигляді кумуляти або огіви.
Кумулята – це крива, що відображає накопичення частот по осі ординат (рис. 2). Характер цієї кривої стверджує, що більш інтенсивне накопичення варіант відбувається в межах серединних класових значень 7,9 - 23,9, а потім темпи накопичення різко зменшуються.
Огіва – крива, де накопичення частот відображено вздовж осі абсцис (рис. 3), а по осі ординат розміщені серединні класові значення.
40 |
|
Біометрія |
|
3.2. Статистики, що характеризують варіаційний ряд
Кожному варіаційному ряду притаманна певна кількість показників, що характеризують його математичні і статистичні особливості. Найбільш принципово важливими і обов’язковими для визначення варіаційного ряду є такі показники:
•характер розподілу варіант за ранжированими їх значеннями;
•середнє значення варіант, представлених у варіаційному ряді;
•моменти розподілу варіант (ознак);
класів |
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Серединні значення |
варіант, см |
30 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
||
20 |
|
|
|
|
|
|
||
15 |
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
|
|
|
|
Накопичення частот, % |
|
|
||
Рис. 3. Огіва варіаційного ряду діаметрів
•ліміти розподілу варіант;
•середнє квадратичне відхилення;
•дисперсія (середній квадрат відхилення);
•коефіцієнт варіації;
•помилка репрезентативності середнього значення;
•асиметрія ряду розподілу (міра косості);
•ексцес ряду розподілу (міра крутизни).
Розділ 3. СтатистичнаЕкологія сукупність випадкових подій та її особливості |
|
41 |
|
||
|
|
|
Значення і способи визначення наведених статистик буде розглянуто у відповідній послідовності.
Розділ 3. СтатистичнаЕкологія сукупність випадкових подій та її особливості |
|
41 |
|
||
|
|
|
3.3. Контрольні питання
1.Що таке "предмет біометрії"?
2.Що таке генеральна і вибіркова сукупності?
3.Що таке об'єм сукупності?
4.Що таке "статистична сукупність"?
5.Яка послідовність виконання біометричних досліджень?
6.Що таке ряди розподілу і ранжирований ряд розподілу?
7.Що таке варіаційний ряд?
8.Що таке вага (частотність, повторність) у варіаційному ряді?
9.Які існують основні види варіаційних рядів, їх особливості?
10.Що таке "класові інтервали", як вони визначаються? Наведіть формули Г.А.Стерджеса і К.Брукса, Н.Каузера.
11.Що таке "класові варіанти" і "конкретні варіанти"?
12.Яка особливість аналізу варіаційних рядів графічним зображенням методом полігонів (гістограм)?
13.Яка особливість аналізу варіаційних рядів графічним зображенням методом кумуляти?
14.Яка особливість аналізу варіаційних рядів графічним зображенням методом огіви?
15.Які статистики характеризують варіаційні ряди?
42
Розділ 4.
Особливості
середніх величин в біометрії
Біометрія
Однією з найбільш важливих варіюючих ознак є середня величина їх значень. Вона характеризує не окремих представників біологічної сукупності, а всю сукупність в цілому, тобто вона характеризує групові властивості. Середня величина відображає внутрішній зв’язок, який існує між окремими варіантами і всієї їх сукупності. Середня величина є центром розподілу варіант, тобто окремих значень. Вона займає центральне положення в загальній чисельності варіюючих значень.
Середні значення, що застосовуються в біології, діляться на степеневі, або параметричні, і середні
порядкові, або непараметричні.
Параметричні середні функціонально пов’язані із розподілом варіруючих ознак, тобто їх значення функціонально залежать від значень варіант, що представлені у ряді розподілу і визначаються з цих значень відповідними арифметичними діями. Вона є параметром даного варіаційного ряду. (Параметр – грец. παραµετρέω – розмірюю, вимірюю, величина, що зберігає стале значення лише за умов даної задачі).
Непараметричні (порядкові) середні функціонального зв’язку з розподілом варіант не мають. Вони лише характеризують структурні особливості цього розподілу (медіана, мода та інші).
В залежності від характеру біологічного об’єкту дослідження або його окремої ознаки для характеристики варіаційного ряду розподілу застосовуються різні види параметричних середніх – середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна, середня гармонічна. Наведені види середніх відрізняються степенем, який застосовується в розрахунках по їх визначенню. Внаслідок цього вони ще мають назву степеневих.
Розділ 3.4 ЕкОсологіябливості середніх величин в біометрії |
|
43 |
|
||
|
|
|
Загальна формула параметричних ( або степеневих) середніх така:
|
|
∑ x k |
x = k |
, |
|
|
|
n |
де: x − середня величина; х − значення окремої варіанти; Σ − знак підсумовування; n −
об’єм сукупності, для якої вираховується середня; k − степінь, що визначає вид середнього значення. Наприклад:
•при k = 1 одержуємо середню арифметичну (x);
•при k = –1 одержуємо середню гармонічну (xh);
•при k = 2 одержуємо середню квадратичну (xg);
•при k = 3 одержуємо середню кубічну (xQ);
•при k = 4 і більше − одержуємо середню геометричну (xq).
Поряд із загальними середніми, які характеризують усю сукупність, розрізняють часткові або групові, середні (xi).
Розділ 3.4 ЕкОсологіябливості середніх величин в біометрії |
|
43 |
|
||
|
|
|
4.1. Середня арифметична величина
Середня арифметична (x) – це частка від ділення суми всіх варіант сукупності на їх загальну кількість
|
= |
40 + 80 |
+120 |
= 80 |
р/м 2 . |
|
x |
||||||
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|||
Середня арифметична може бути простою і виваженою.
Проста середня арифметична одержується, як вже було наведено, шляхом ділення суми значень представлених варіант (ехі) на їх кількість (n). Але не завжди така середня буде об’єктивно характеризувати біологічний об’єкт або групу об’єктів, які досліджуються. Наприклад, слід визначити середню густість рослин пшениці 3-х різних сортів, що зростають на ділянках різного розміру. Якщо густість послідовно буде 40, 80, 120 рослин/м2, а зайнята площа відповідно 10, 15, 20 м2, то середня густість буде