BiometriaKnuga

Оцінка точності рівняння здійснюється шляхом визначення середньої квадратичної різниці між обчисленими значеннями ознаки і їх експериментальними значеннями:

Помилки репрезентативності обумовлюють довірчий інтервал регресії:

yx + mbyx > y > yx − mbyx , довірчі межі і довірчу зону регресії (рис.

6).

Наведене нижче означає, що фактична лінія регресії

Рис. 6. Довірчі лінії і довірча зона регресії Yх:

±а − довірчий інтервал; bb1 − верхня довірча межа; сс1 − нижня довірча межа;

заштриховано − довірча зона

може займати будь-яке положення в межах зони довірчого інтервалу. При чому знаходження її біля верхньої і нижньої межі має незначну імовірність. Найбільша імовірність знаходження фактичної лінії регресії – це її положення біля обчисленої лінії регресії Yх.

Параболічна залежність

Параболічна регресійна залежність найбільш часто зустрічається при біометричних дослідженнях. Загальне рівняння параболи:

y = a +bx + cx2 + dx3 +...+ exn ,

тобто рівняння параболи є розвитком лінійної функції, де Х має першу ступінь (a+bx), з подальшим зростанням степеня при Х.

Вцій формулі у і х − змінні величини (залежна і незалежна); a, b, c, d, e − параметри (коефіцієнти) рівняння.

Взалежності від того, на якому члені полінома зупиняться розрахунки, формується парабола першого, другого, третього і т.д. порядку, і застосовується для розрахунків параметрів відповідна система рівнянь.

Наприклад. Для параболи другого порядку застосовується така система рівнянь:

Звідси виходить, що для складання системи нормальних рівнянь за емпіричними даними необхідно визначити значення: Σу; Σх; Σху; Σх2; Σx3, Σx4; Σyx2. Це робиться із застосуванням наступного макету допоміжної таблиці:

Рівняння логарифмічної параболи

Особливість кореляційних зв'язків між багатьма ознаками біологічних об'єктів часто вимагають застосування для їх апроксимації більш складних функціональних залежностей, виявлення яких доцільно досліджувати застосуванням напівлогарифмічних і логарифмічних видів парабол. Застосування логарифмів дозволяє складні криволінійні залежності замінити на прямолінійні.

До напівлогарифмічних відносяться параболи виду

Рішення рівнянь напівлогарифмічних і логарифмічних парабол аналогічно рішенню простих парабол, з тією різницею, що тут значення варіант ознак, що досліджуються, представлені у логарифмічному вигляді.

Гіперболічна залежність

Гіперболічна залежність описується рівнянням

y = a +b, x

для визначення параметрів а їй служить така система нормальних рівнянь:

− перше рівняння;

∑y = a∑1x +bn

− друге рівняння.

Для того, щоб скласти систему рівнянь, необхідно визначити значення Σу; Σу/x; Σ1/x і Σ1/x2, і застосовується така форма допоміжної таблиці:

6.5. Властивість коефіцієнту регресії

Коефіцієнт регресії − це параметр рівняння регресійної залежності між двома ознаками варіаційного ряду. Разом з тим він є мірою регресії (зміни) показника Y відносно показника Х або навпаки − Y по Х. Коефіцієнт регресії показує, наскільки зміниться ознака (Х або Y) при зміні іншої відповідної ознаки (Y або Х) на одиницю міри тієї або іншої ознаки.

Коефіцієнт регресії Y по Х (byx) або Х по Y (bxy) визначається за такими аналогічними формулами:

Якщо є необхідність уникнути обрахунку середніх квадратичних відхилень (σу і σх), можна застосувати такі формули:

За цими формулами відповідно визначаються середні (розрахункові) значення Y при зміні Х на одиницю міри або, навпаки, середні значення Х при зміні значення Y.

Коефіцієнт регресії так само, як і коефіцієнт кореляції, характеризує лінійний зв'язок, коли збільшення (або зменшення) однієї змінної викликає

пропорційне збільшення (або зменшення) другої. Коефіцієнт регресії відображає залежність між Х і Y в нормованих одиницях виміру, тобто якщо коефіцієнт кореляції − число не іменоване, то коефіцієнт регресії − число іменоване.

Помилка репрезентативності лінійної регресії визначається за наступними аналогічними формулами:

При цьому, якщо середні квадратичні відхилення визначались за інтервальними рядами, то в наведених формулах визначення помилки репрезентативності σу і σх повинні перемножатись на величину відповідного класового інтервалу, тобто σу іу і σхіх.

Достовірність коефіцієнту регресії визначається за критерієм Стьюдента з числом степеней вільності k = n − 2.

Критерій достовірності різниці (t) між коефіцієнтами регресії виборок, що порівнюються, визначається за формулою із застосуванням коефіцієнта Стьюдента:

t = bx − by ≥ tS .

mdb

В цій1 формулі, крім значень bx i by, застосовується показник mdb − це помилка між помилками коефіцієнтів регресії, що порівнюються:

6.6. Середня квадратична помилка рівнянь регресії

За рівнянням регресії можна знайти імовірне значення у' для будь-якого значення незалежної ознаки Х. Знайдені таким шляхом значення Y' мають назву вирахованих або вирівняних значень. Вони знаходяться шляхом підставлення в рівняння регресії будь-якого значення ознаки Х.

Вирівняні значення здебільшого не співпадають із значеннями, одержаними експериментально, тобто з емпіричними значеннями. Отже, для будь-якого значення Х після визначення вирівняних даних будемо мати два значення Y: одне − середнє з емпіричних значень і друге − вирівняне, тобто вираховане за формулою регресії. Відповідно співставлення цих даних дає можливість визначити помилку вирівняних значень (у'), вона є середньою квадратичною помилкою рівняння регресії (S). Для того, щоб знайти цей показник, необхідно знайти всі різниці між емпіричними і вирівняними значеннями У, (тобто у' − у = d) піднести їх у другу степінь, одержані значення підсумувати і суму поділити на кількість спостережень − n.

n

Якщо розрахунки ведуться для генеральної сукупності, то ця формула буде такою:

S2 = ∑dyx2 ,

N − k

де k − число коефіцієнтів відповідного рівняння регресії.

Середня квадратична помилка рівняння регресії характеризує, наскільки повно вирівняні дані співпадають з даними експериментальними. У випадках, коли дослідник на підставі графічного аналізу має сумнів щодо вибору для апроксимації даної залежності тієї або іншої формули регресії, слід розрахувати дві або більшу кількість формул і серед них обрати ту, в якій показник S є найменшим.

•другого порядку: y = α + βP1+ νP2;

•третього порядку: y = α + βP1+ νP2+ δP3.

На заключення цього розділу слід підкреслити, що застереження, яке було висловлено в попередніх розділах про можливість застосування методів регресійного аналізу до вивчення біологічних об'єктів повинно постійно бути в полі зору дослідника. Це, перш за все, відноситься до вибору характеру регресійної залежності, який необхідно обирати лише після графічного аналізу цієї залежності. Після математичної інтерпретації перевіряти правильність апроксимації за коефіцієнтами дисперсії.

Крім того, необхідно перевіряти відповідність біологічних особливостей об'єкту досліджень характеру обраних математичних моделей.

Отже, застосування методу регресійного аналізу при дослідженні біологічних об'єктів повинно проводитись після того, як буде доведена відповідність біологічних особливостей об'єкту, що досліджується, даному методу математичного аналізу і при наявності впевненості в тому, що одержані результати не суперечать цим особливостям.

Приклад. Після встановлення дуже тісного кореляційного зв'язку поставлено завдання визначити формулу регресійної залежності між діаметрами і висотами дерев. Дослідник, який взяв як об'єкт дослідження молоді рослини (3-5 років) деревних порід одержить висновок, що ця залежність апроксимується рівнянням прямої лінії

y = a +bx.

Але дослідник, який не знайомий із загальною лісобіологічною особливістю збільшення висот і діаметрів дерев з віком і який об'єктом досліджень взяв насадження 15-20-річного віку, буде вважати цей висновок невірним, оскільки його результатом стало рівняння параболи

y= a +bx2 + cx3.

Адослідник, що дослідив деревостан у віці 50-80 років, не буде згідний ані з першим, ані з другим своїм колегою, оскільки коефіцієнти його рівнянь

будуть зовсім іншими і, отже, застосування будь-якого з цих результатів в цілому для деревної рослинності, навіть при умові високого рівня достовірності і точності рівнянь, буде не вірним, якщо не врахувати загальні лісобіологічні особливості деревних організмів в їх сукупності.

Приклад. На підставі чисельних досліджень виявлено дуже тісний кореляційний зв'язок між діаметрами скелетних коренів біля їх основи і довжиною коренів. Регресійним аналізом залежність між діаметрами (х) і довжинами (у) горизонтальної орієнтації ця залежність апроксимується формулою

Якщо не враховувати біологічні особливості будови кореневих систем дерев і застосувати цю формулу до аналізу скелетних коренів вертикальної орієнтації, то будуть одержані невірні дані. Причина цього у тому, що крім особливостей генетичної природи на розвиток і формування коренів горизонтальної і вертикальної орієнтації впливають різні грунтовогідрологічні умови: корені горизонтальної орієнтації формуються у верхньому відносно однорідному шарі грунту і можуть мати досить значну довжину, а корені вертикальної орієнтації засвоюють вертикальну товщу грунту, окремі шари якої мають різну щільність, вологість, механічний склад, тому вони при однаковому діаметрі завжди мають довжину значно меншу, ніж корені горизонтальної орієнтації.