BiometriaKnuga

5.6. Кореляційне відношення

Кореляційне відношення визначає кореляцію в будь-якій її формі (тобто в прямолінійній або криволінійній).

При використанні для аналізу показників коефіцієнтів кореляції і кореляційних відношень слід мати на увазі таку особливість коефіцієнта кореляції і кореляційного відношення.

Коефіцієнт кореляції визначає однакову міру зв'язку між першою і другою ознакою, тобто міра зв'язку між Х і Y така сама, як і між Y і Х, тобто rxy = ryx. Кореляційне відношення свідчить про наявність дещо іншого характеру зв'язку між Х і Y, що має прояв у тому, що показник кореляційного відношення між Y і Х не такий самий, як кореляційне відношення між Y і Х, тобто ηху ≠ ηух. Це ніби парадоксальне ствердження беззаперечно підтверджується результатами досліджень з будь-якими біологічними об'єктами. Дане положення підкреслює принципову і важливу особливість біологічних об'єктів, яка полягає в тому, що зворотні зв'язки в біологічних об'єктах мають дещо різну інтерпретацію. Існують такі корелюючі ознаки, природа яких ставить неможливим зрівноважувати вагомість їх значень.

Наприклад. Висоти дерев односторонньо і однозначно залежать від їх віку. Тобто, наприклад, в ідентичних умовах висота дерева у 10-річному віці буде 2,5, в 20-річному − 5,2 м, в 30-річному − 7,4 м. Але не можна стверджувати, що залежно від цих параметрів 2,5; 5,2; 7,4 знаходиться вік, який, власне, незалежно від висоти цих дерев крокує за своїми загальнокосмічними правилами. Він завжди буде збільшуватись за своїми законами незалежно від того, як будуть збільшуватись висоти дерев.

Другий приклад. Середня маса колоска пшениці безпосередньо залежить від кількості опадів. Але кількість опадів і характер їх випадання зовсім не залежить від того, наскільки збільшується вага колоску.

Подібна нерівність зворотних зв'язків між екологічними умовами і

реакцією на них живих організмів обумовлює нерівність зворотних зв'язків. Ця нерівність може досягати критичних рівнів, коли кореляційне відношення першої і другої ознаки буде мати значну величину, а кореляційне відношення другої ознаки по першій − наближатись до нуля.

Отже, показник кореляційного відношення визначається для оцінки криволінійної залежності між змінними величинами Х і Y. Він позначається грецькою літерою η ("ета").

Кореляційне відношення відображає відносну ступінь варіювання (дисперсії) групових середніх (y).

Кореляційне відношення завжди має додатнє значення і знаходиться в межах від 0 до + 1. Нульове значення воно приймає тоді, коли зв'язок між ознаками, що досліджуються, відсутній.

В разі суворо прямолінійного зв'язку кореляційне відношення і коефіцієнт кореляції рівні 1, тобто r = η = 1. Звичайно в разі наявності криволінійного зв'язку η > r.

За показниками η і r визначаються ступінь криволінійності зв'язку − К, як

К = η2 − r2.

При К = 0 зв'язок є прямолінійним (тобто r = η = 1). При значенні К в межах від 0 до + 1 слід визначати достовірність міри лінійності (tК). Для цього попередньо визначається основна помилка міри лінійності за формулою

Показник криволінійності вважається достовірним при tК > 3.

Оскільки зв'язок описується по-різному в залежності від того, який показник обраний як незалежний, проводиться подвійне ранжирування сукупності. В зв'язку з цим визначаються також два показника кореляційних відношень: ηух і ηху. Вони розраховуються за аналогічними формулами:

Як правило, визначають лише одне значення кореляційного відношення. Нагадаємо, що так само, як і коефіцієнт кореляції, кореляційне відношення – величина відносна, вона приймає значення від 0 до 1. Так само, як і для коефіцієнта кореляції, наближення показника кореляційного відношення до 1 свідчить про посилення тісноти зв'язку між Х і Y, а наближення до 0 − його зменшення. Якщо кореляційне відношення дорівнює 0, то кореляція між даними ознаками відсутня. Показники кореляційного відношення кожної з двох ознак не є рівними між собою, тобто ηxy ≠ ηyx. Але в окремих випадках кореляційні відношення можуть бути рівними ηxy = ηyx. Це буває тоді, коли

зв'язок між Х і Y є прямолінійним. Бувають випадки, коли значення кореляційного відношення може бути рівним значенню коефіцієнта кореляції: ηxy = rxy. Це також буває тоді, коли зв'язок між Х і Y є прямолінійним. Якщо значення кореляційного відношення відрізняється від значення коефіцієнта кореляції, то зв'язок між ними є криволінійним, причому, чим більше різниця між η і r, тим більша криволінійність зв'язку.

За показниками коефіцієнтів кореляції і відповідного кореляційного відношення можна визначити показник, який характеризує міру

криволінійності (ν):

ν = η2 − r2.

І його помилка

Наведені матеріали свідчать про те, що для всебічної характеристики особливостей кореляційних зв'язків між ознаками, що вивчаються, особливо коли форма зв'язку між ознаками, що корелюють, невідома, необхідно визначити коефіцієнти прямолінійного і криволінійного зв'язку (коефіцієнт кореляції і кореляційне відношення) і критерій криволінійності.

5.7. Контрольні питання

1.Що означає кореляційний зв'язок між значеннями варіант рядів розподілу?

2.В чому полягає кореляційний аналіз даних спостережень?

3.Що означають поняття функційної і кореляційної залежності?

4.В чому полягає лінійна і криволінійна форми залежностей між варіантами?

5.Що означає коефіцієнт кореляції, як він визначається?

6.Що означає коефіцієнт коваріації, де він використовується?

7.Як використовується "нульова гіпотеза" в кореляційному аналізі?

8.Що означає і як застосовується показник Z ("зет") Р.Фішера?

9.Як визначається достовірність різниці між коефіцієнтами кореляції різних вибіркових сукупностей?

10.Як визначається множинний коефіцієнт кореляції?

11.Як визначається кореляція між якісними ознаками?

12.Що характеризує кореляційне відношення, як воно визначається?

13.Як визначається показник криволінійноcті зв'язку та його помилка?

14.Як визначається помилка кореляційного відношення?

з даних, які одержані в експериментальних дослідженнях. При графічному відтворенні емпіричного ряду регресії критерії значень аргументу відкладаються на осі абсцис, а критерії значень функцій − на осі ординат. Нанесені на таку систему координат дані експериментальних замірів дають емпіричну лінію регресії, тобто її графічне зображення. Емпіричні лінії часто бувають рівними, але майже ніколи не бувають плавними. Для них характерно те, що в межах одних інтервалів аргументу функція може мати або підвищене (крива іде догори) або понижене (крива іде вниз), або від'ємне прирощення (крива іде в зворотньому напрямку). Так само, як і при аналізі кореляційної залежності аналіз регресійної залежності може бути представлений у вигляді рядів регресії, у вигляді кривої регресії, а також у вигляді крапкового графіку. В останньому випадку на системі координат відкладаються крапки, які фіксують відповідні значення функції щодо аргументу.

Визначення величини і характеру регресії та апроксимація їх відповідним математичним рівнянням розуміється як регресійний аналіз. В завдання регресійного аналізу входить після проведення кореляційного аналізу вибір математичного рівняння, яке в найбільшій мірі відповідає характеру залежності між ознаками, що досліджуються, находження конкретних значень коефіцієнтів цього рівняння, оцінку значимості (достовірності) рівняння, оцінку точності визначення рівняння.

6.1. Завдання регресійного аналізу в біологічних і екологічних дослідженнях

Якщо для кожного значення (х) вирахувати по декількох вимірах середнє значення (у), то одержані результати при наявності кореляційної залежності ознак розмістяться на графіку у вигляді певної лінії, яка зветься лінією регресії. Тобто лінія регресії − це лінія, яка з'єднує середні значення залежної ознаки (у) відносно значення незалежної ознаки (х). Відповідно до характеру кореляційного взаємозв'язку лінія регресії може бути прямою або кривою. Регресійний аналіз не може бути відокремленим від кореляційного аналізу. Але на відміну від кореляційного аналізу регресійний аналіз відразу

відображає двосторонність зв'язку між ознаками Х і Y, тобто його показники одночасно висвітлюють зміни Х в залежності від зміни Y і зміни Y в залежності від зміни х. Саме функція, яка дозволяє за величиною однієї ознаки (х) знаходити середнє значення іншої ознаки − (y) при наявності між ними кореляційного зв'язку, зветься регресією. В біологію термін "регресія" ввійшов завдяки Ф.Гальтону, який вивчав зв'язок між ростом батьків та їх дітей. Він встановив "закон регресивної спадковості", коли діти дуже високих і дуже низьких батьків мають тенденцію "регресувати" в своєму розвитку в бік середнього, для даної популяції людей росту.

Регресивним аналізом визначається також ступінь варіювання залежної ознаки по відношенню до незалежної ознаки. Лінія регресії описується (апроксимується) відповідною математичною формулою.

Процес розрахунку (визначення) середнього значення (у) для кожного відповідного значення (х) за відповідною математичною формулою має назву: вирівнювання експериментальних даних.

Якщо по осі абсцис відкласти класи (інтервали) значення незалежної ознаки, а по осі ординат − класи залежної ознаки і експериментальні дані спостережень нанести на графік, то, з'єднавши крапки на графіку прямими лініями, одержимо деяку ламану лінію. Але якщо спостережень (у) було в достатньо великій кількості, ця лінія повинна бути плавною кривою. Тобто ця лінія має вигляд ламаної внаслідок недостатньої кількості спостережень.

Отже, після одержання ламаної лінії для позначення вибіркової сукупності варіант (тобто експериментальну або дослідну лінію) її необхідно врівняти, що означає знайти закон її зміни у вигляді математичної формули.

Лінія вирівнювання узагальнює дані часткової виборки і фіксує закономірність у взаємних змінах ознак.