BiometriaKnuga
.pdf
Розділ 3.7 ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
133 |
|
||
|
|
|
сукупності формувались шляхом відбору по 200 сіянців (за принципом імовірності) для кожної дослідної площадки. Дослід закладався в 3-х повторностях з градаціями регульованого фактору (розпушування) – відсутність, два, чотири, шість. Всього закладено 12 пробних площ, на яких у дослідних рослин заміряні восени річні прирости за висотою. Результати замірів згруповані в табл. 9. Однакова кількість повторностей по всіх варіантах досліду і участь лише одного регульованого фактора підтверджує класифікацію комплексу як однофакторіального і рівномірного.
Результати дослідів, що представлені в таблиці можна представити графічно (рис. 7).
Дані табл. 9 і рис. 7 стверджують, що із збільшенням кількості розпушень грунту до 4 разів приріст рослин сосни збільшується, але
Таблиця 9. Результати замірів річного приросту саджанців сосни звичайної
Варіанти досліду |
|
Середній приріст рослин за |
Середній приріст |
|||
|
повторностями (варіантами), см |
по всіх |
||||
|
1 |
2 |
3 |
ni |
повторностях |
|
Контроль |
6 |
|
4 |
8 |
3 |
6,0 |
Догляди проводились: |
8 |
8 |
12 |
3 |
9,1 |
|
•два рази
• |
чотири рази |
12 |
14 |
16 |
3 |
14,0 |
• |
шість разів |
12 |
12 |
12 |
3 |
12,0 |
|
|
|
|
|
|
|
подальше збільшення доглядів дещо негативно відбилось на величині приросту. На жаль, наведені дані не відображають статистичної достовірності результатів. Отже, арбітром в цьому може бути лише подальший
Приріст, см |
|
|
Рис. 7. Вплив |
|
|
|
|
20 |
|
|
кількості доглядів |
|
|
на приріст 2- |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
річних рослин |
|
|
сосни звичайної |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|
|
Кількість доглядів |
0 |
2 |
4 |
6 |
134 |
|
Біометрія |
|
дисперсійний аналіз.
Згідно з вимогами алгоритму (2) знаходимо суму приростів по всіх 12 варіантах, що складають даний комплекс: ∑ х = 6 + 4 + 8 + 8 + 8 + 12 + 12 + 14 + 16 + 12 + 12 + 12 = 124. Квадрат цієї суми дорівнює (∑ х)2 = 15376. Визначаємо суму квадратів тих самих варіант: ∑ х2 = 62+ 42+ 82+ 82+ 82+ 122 + 122 + 142 + 162 + 122 + 122 + 122 = 1418.
Наступний елемент алгоритму (3) – визначення загальної суми квадратів відхилень (Dy). Знаходимо квадрати групових середніх і суму їх квадратів: ∑ x2 = (6,0)2 + (9,1)2+ (14,0)2 + (12,0)2 = 458,8.
Знаходимо загальну суму квадратів відхилень
Етап 4. Знаходимо міжгрупову суму квадратів відхилень
Dy |
= ∑x2 − |
(∑x)2 |
=1418− |
15376 |
=136,7. |
|||||||
|
N |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||
Етап 5. Знаходимо внутрішньогрупову |
(остаточну) суму квадратів |
|||||||||||
|
|
|
|
|
(∑x)2 |
|
|
15376 |
відхилень |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Dx |
= n∑xi |
− |
|
|
= 3 458,8− |
|
|
|
= 95,1. |
|||
N |
|
|
|
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Етап 6. Визначаємо значення дисперсій σзаг2; σфакт2; σост2
Число ступенів вільності для загальної дисперсії складає Ку = (N – 1) – (a
– 1) |
|
|
|
= 11 – 3 = 8. |
|
= ∑x2 − n∑xi2 |
|||||
Dz |
=1418−1376,4 = 41,6. Значення загальної |
||||
дисперсії
Значення міжгрупової (факторіальної) дисперсії
σ2заг = Dy = 136,7 =12,4.
Ky 11
Розділ 73. ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
|
|
|
|
135 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
σ2 |
факт = |
Dx |
= |
95,1 |
= 31,7. Значення внутрішньогрупової |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Kx |
3 |
|
|
|
(остаточної) дисперсії |
|
|
||||||
σ2 |
ост = |
Dz |
= |
41,6 |
= 5,2. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Kz |
8 |
|
|
|
Для |
спрощення |
подальшого аналізу |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зведемо одержані |
дані в |
допоміжну |
||
таблицю (табл. 10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Порівнявши значення Fфакт і Fтабл, ми бачимо, що на 95 % рівні |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Таблиця 10. Узагальнююча допоміжна таблиця |
|
|
|
|||||||||||||
Дисперсія |
Ступені |
|
|
|
Сума |
|
Середнє значення Fфакт |
Fтабл |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відхилень |
відхилень |
|
р = 0,05 |
||||
Факторна |
3 |
|
|
95,1 |
|
31,7 |
|
|
|
|||||||
Залишкова |
8 |
|
|
41,6 |
|
5,2 |
6,1 |
4,1 |
||||||||
Загальна |
11 |
|
|
136,7 |
|
12,4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значимості підтверджується гіпотеза про позитивний вплив доглядів (розпушувань грунту) на приріст 2-річних рослин сосни звичайної. Вплив інших, нерегульованих факторів в порівнянні з даним регульованим фактором відносно незначний. Дані графічного аналізу і табл. 10 стверджують, що доцільно проводити не більше 4 розпушувань грунту протягом одного вегетаційного періоду.
Розглянемо більш складний дисперсійний аналіз на прикладі нерівномірного однофакторного комплексу. Нерівномірним він є внаслідок того, що на відміну від попереднього (де кількість варіант в градаціях однакова – 3) в цьому комплексі кількість варіант – повторностей в градаціях (ni) різна. До однофакторного він відноситься тому, що фокусним фактором тут є лише один: внесення азотних добрив для покрашення росту рослин.
Вивчався вплив внесення різних доз амонієвої селітри (NH4NO3) на приріст дворічних саджанців дуба звичайного в лісовому розсаднику на середньодернових слабоопідзолених грунтах Півдня України.
136 |
|
Біометрія |
|
Результати досліду за дисперсійним комплексом зведено в табл. 11. Етап 1 і 2. Оцінка приросту дуба за висотою за даними таблиці така:
середній приріст x = 10,3 см. Загальна кількість варіант – 17. Загальна сума приростів по варіантах склала 159 см. Квадрат цієї суми (Σx)2 = 1592 = 25281.
Таблиця 11. Вплив внесення різних доз амонієвої селітри на приріст
Дози добрив (діюча |
|
Приріст за |
|
|
ni |
Сума |
Середній |
||
речовина), кг / га |
|
|
|
|
|
|
|
(Σ) |
приріст, |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
см |
Контроль – 0 (без добрів) |
4 |
6 |
8 |
4 |
6 |
5 |
6 |
33 |
5,5 |
5 |
6 |
10 |
14 |
8 |
12 |
12 |
6 |
62 |
10,3 |
10 |
10 |
12 |
18 |
|
|
|
3 |
40 |
13,3 |
15 |
12 |
12 |
|
|
|
|
2 |
24 |
12,0 |
Сума |
32 |
40 |
40 |
12 |
18 |
17 |
17 |
159 |
10,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Етап 3. Загальна сума квадратів відхилень складає: Σx2 = 42 + 62 + 82 + 42 + ... + 122 = 1733.
Загальна сума квадратів відхилень складає:
Етап 4. В зв'язку з тим, що дисперсійний аналіз не рівномірний, міжгрупову суму квадратів відхилень розраховуємо з урахуванням "ваги"
Dy = ∑x2 − (∑x)2 =1733− 25281 =1733−1487 = 246. N 17
кожної часткової середньої (її долі): |
|
|
||||
|
|
|
|
|
6(5,5 – 10,3)2 |
= 138,2 |
|
|
|
|
|
6(10,3 – 10,3)2 |
= 0,0 |
Dx = ∑[ni ( |
|
|
|
)2 ]= |
3(13,3 – 10,3)2 |
= 27,0 |
x |
i − |
x |
2(12,0 – 10,3)2 |
= 5,8 |
||
|
|
|
|
|
____________________ |
|
|
|
|
|
|
Σ |
= 171,0 |
|
|
|
|
|
Dx |
= 171,0 |
Етап 5. Знаходимо внутрішньогрупову (остаточну) суму квадратів відхилень:
Розділ 3.7 ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
137 |
|
||
|
|
|
Dz = Dy − Dx = 246 −171= 75. Етап 6. Розраховуємо величини дисперсій.
Знаходимо число ступенів вільності:
Ку = 17 – 1 = 16; Кх = 4 – 1 = 3; Кz = 16 – 3 = 13. Визначаємо величини дисперсій.
Факторна (міжгрупова) дисперсія
σ2факт = Dx = 171,0 = 57,0.
Kx 3
Остаточна (внутрішньогрупова) дисперсія
σ2ост = Dz = 75,0 = 5,8.
Kz 13
Звідси визначаємо критерій F-Фішера
σфакт2 57,0
Fфакт = σост2 = 5,8 = 9,83.
Стандартне значення цього критерію визначається за таблицями додатку
4.
Методика цього визначення така. Перевіряємо рівень значимості р = 0,01. Для цього (згідно з вказівками додатку) беремо цифри нижньої строки значень. Знаходимо по горизонталі – Кх = 3, а по вертикалі − Кz = 13. На перехресті маємо значення критерію Fтабл = 5,74. Отже, Fфакт > Fтабл. Це означає, що на рівні р = 0,01 нульова гіпотеза відкидається і достовірність того, що внесення добрив впливає на збільшення приросту, підтверджується. Таким же чином перевіряється (при необхідності) і рівень значимості р = 0,05.
Розглянемо декілька прикладів застосування дисперсійного аналізу, наведених у літературних джерелах.
138 |
|
Біометрія |
|
Як вже згадувалось в розд. 6.1.5, англійський дослідник Дж.У.Сне-декор [1] як генеральну сукупність взяв дані по доважках 511 тварин. Для аналізу він взяв 4 вибіркових сукупності, тобто сформував 4 групи варіант, в кожну з яких за принципом випадковості включив по 5 показників з генеральної сукупності. Отже, він сформував 4 вибірки (групи) (а = 4), кожна з яких включала 5 спостережень (n = 5). Загальна кількість варіант у відібраних групах склала N = an = 20 (табл. 12).
Таблиця 12. Доважки тварин у фунтах
Група |
Довжка (Х); (n) Сума |
Середнє |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тварин |
|
|
|
|
|
∑ X |
|
|
|
∑ x |
2 |
∑x |
2 |
|
|
|
∑x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
∑x |
2 |
− |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
40 |
24 |
46 |
20 |
35 |
165 |
33 |
5917 |
5445 |
|
|
472 |
|
|||||
2 |
29 |
27 |
20 |
39 |
45 |
160 |
32 |
5516 |
5120 |
|
|
396 |
|
|||||
3 |
11 |
31 |
17 |
37 |
39 |
135 |
27 |
4261 |
3645 |
|
|
616 |
|
|||||
4 |
17 |
21 |
38 |
33 |
21 |
120 |
24 |
3044 |
2880 |
|
|
164 |
|
|||||
Всього |
|
|
|
|
|
580 |
29 |
18738 |
17090 |
|
1648 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дані таблиці дозволили одержати три необхідні оцінки дисперсії: 1) загальну, 2) дисперсію сум квадратів для кожної з чотирьох груп, яка характеризує варіювання даних в окремих групах, 3) дисперсія між груповими середніми.
Розрахунки і значення цих дисперсій
S = (∑x2 ) = 1918 =100,9, наступні.
1. |
(N −1) 19 |
|
|
|
|
|
|
де N = an. |
|
|
(∑x12 + ∑x22 + ∑x32 |
+ ∑x42 ) |
|||
S = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
2. 1 |
N − n |
|
|
|
||
= |
472+ 396+ 616+164 |
= |
1648 |
=103. |
||
|
|
|||||
|
|
20− 4 |
16 |
|
|
|
Розділ 73. ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
139 |
|
||
|
|
|
[( |
|
1 − |
|
)2 + ( |
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
)2 ] |
|
|
|
x |
x |
x |
− x)2 + ...+ (x4 |
x |
= |
3 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n−1
=[(33 − 29)2 + (32 − 29)2 + (27 − 29)2 + (24 − 29)2 ]= 18.
4 −1
Вираховується середній квадрат середніх:
σ2 |
, |
|
100 |
= 20. |
|
|
5 |
||||
5 |
|||||
|
|
||||
Цей результат (18) є оцінкою
тобто
Таблиця 13. Дисперсійний аналіз даних про доважку тварин
|
Причина варіювання |
|
Число ступенів |
Сума квадратів |
Середній |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вільності |
|
∑ x |
2 |
квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальне |
|
|
|
|
|
|
19 |
|
1918 |
101 |
|||
Групові середні |
|
|
|
|
3 |
|
270 |
90 |
|||||
(факторіальні) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Складові окремих груп |
|
|
|
6 |
|
1648 |
103 |
||||||
(випадкові) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Кожна середня являє собою результат 5 спостережень. Звідси – третя |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оцінка дисперсії (σ |
|
2 |
) |
|
|
|
∑X |
2 |
− |
(∑X ) |
2 |
|
|
б у д е |
м а т и |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑x |
|
= |
|
|
N |
= |
|
|
значення: S2 = 18 • |
|||
5 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 0 . |
В о н а |
|||
402 + 242 + 462 +...+ 212 − 5802 |
|
||||||||||||
|
= |
=1918. обумовлена 4-ма |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
г р у п о в и м и |
|
середніми при n – 1
140 Біометрія
= 4 – 1 = 3 ступені вільності. Отже, сума квадратів всіх групових середніх складає 90 • 3 = 270. Результати дисперсійного аналізу формуються у табл. 13.
[∑(∑X )2 ] |
(1652 +1602 +...+1202 ) |
|
|||
n − (∑X )2 = |
|
|
=17090 −16820 = 270. |
||
|
5−5802 |
|
|||
|
|
20 |
|
|
|
an |
|
|
|||
Ця таблиця складена після виконання таких розрахунків.
1.Сума всіх спостережень ΣX = 40 + 24 + 46 + ... + 21 = 580.
2.Загальна сума квадратів
Таблиця 14. Висота тополевих саджанців, що одержані із живців з різними
Група |
Висота, см (від висоти кожного саджанця для |
Сума |
Середнє |
|||||
1 |
14 |
22 |
18 |
27 |
6 |
45 |
132 |
72 |
2 |
26 |
41 |
47 |
32 |
35 |
27 |
210 |
85 |
3 |
25 |
43 |
28 |
21 |
13 |
26 |
156 |
76 |
4 |
5 |
16 |
1 |
14 |
20 |
16 |
72 |
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑X =14+ 26+ 25+...+16 = 570.
3.Сума квадратів для групових середніх:
Порівняння показника факторіальної дисперсії (90) і випадкової дисперсії (103) свідчить про їх незначне розходження, тобто дає підставу для висновків, що різниця між зробленими вибірками відсутня (недостовірна).
Н.Н.Свалов [11] наводить приклад дисперсійного аналізу висоти тополевих саджанців (табл. 14-15).
Виконуються такі розрахунки.
Розділ 3.7 ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
|
|
141 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 15. Дисперсійний аналіз даних про висоту саджанців |
|
|
||
Причини варіювання |
Число ступенів |
Сума |
Середній |
|
|
вільності |
квадратів |
квадрат |
|
Загальне |
23 |
3586,2 |
|
|
Між групами (факторіальне) |
3 |
1636,5 |
545.5 = σ12 |
|
Між варіантами (випадкове) |
20 |
1950 |
97.5 = σ22 |
|
F |
= |
545,5 |
≈ 5,6; |
F |
|
|
|
= 3,1; |
F |
|
|
> F |
> 3,1. |
|||
|
|
0,05 |
|
|
||||||||||||
факт |
97,5 |
|
|
табл |
|
|
|
|
факт |
табл |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Цей результат свідчить про те, що на 5% рівні достовірності слід |
||||||||||||||||
стверджувати, що висота саджанців обумовлена |
факторіальними, |
а не |
||||||||||||||
випадковими причинами. |
2 |
+ 210 |
2 |
+156 |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
|
|
|||||
|
(132 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
72570) |
−=13537,5 |
= |
||||||||||
|
∑x2 =142 + 262 |
+ 252 |
+ |
... |
+162 |
− |
24 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=17224 −13224=15174,= 3586−13537,.,5 =1636,5.
Розділ 3.7 ДисперсійнийЕкологія аналіз |
|
141 |
|
||
|
|
|
|
|
(132 |
2 |
+ 210 |
2 |
+156 |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
|
|
∑X2 |
=142 |
|
|
|
72570) |
−=13537,5 |
|
||||||
+ 262 |
+ 252 |
+ |
...+162 |
− |
24 |
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
=17224 −13224=15174,= 3586−13537,.,5 =1636,5.
7.4.Контрольні питання
1.В чому полягає сутність методу дисперсійного аналізу запропонованого Р.Фішером?
2.Що таке фокусні фактори, що фігурують в дисперсійному аналізі?
3.Що таке ортогональні і неортогональні комплекси?
4.Як розрізняються загальна і групова дисперсія?
5.Як проводиться оцінка достовірності різниці результативних ознак в дисперсійному аналізі?
6.Як побудовано алгоритм дисперсійного аналізу?