29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.

Выражение вида =+(1);;- фиксирован.тчк- ряд Лорана. Область сходим ряда(1)- общая часть областей сходим.рядов, стоящих в правой части рав-ва(1).сход в некотором круге;==(*)-сход в некотором круге,откуда<>, след-но (*) сход в область( внешность круга радиусомr с центром в тчк a). Если 0<r<R, то р.Лорана (1) схо в кольцевой обл r<; еслиrR, то р.Лорана (1) не сход ни в одной тчк комплексной обл. Теорема Лорана. Функция f(z) аналитична внутри кольцевой обл K: r<может быть представлена сходящейся в р.Лорана, коэффиц.которого (2):dz; где n; -окружность:=;Док-во. Рассмотрим произвольную тчк z кольца К, удовлетвор.услов: :. Внутри выбранная облf(z), след-но представлена формулой Коши f(z)=d+d (3); =>, след-но <1;==*=подставив это в (3):f(z)=d +=+=+=, где вычисляется по (2); 1-е слагаемое (1)-Правильная(регулярная) часть р.Лорана, 2-е слааемое(1)- главная часть р.Лорана

30.ИОТ:устранимыеОТ, полюсы и их связь с нулями.f(z) =+; 1-е слагаемое-главная часть р.Лорана, 2-е слагаемое- правильная часть р.Лорана. Тчкz=а изолированная особоя тчк f(z), если: 1. f(z) не определена в тчк a; 2. f(z) является аналитической в любом кольце вида:0<<. Кольцо 0<<- проколотая окрестность тчкz=a; z=a - ИОТ f(z) (изолированная особая тчк): 1)z=a устранимая особая тчк, если существует канонический предел =A; 2) z=a полюс, если =; Характер ИОТz=a ф-ии f(z) может быть установлен по виду р.Лорана этой ф-ии для кольца r<. ИОТ является:1)устранимой, если главная часть разложения отсутствует.2)поюсом, если главная часть содержит конечное число членов. При этом, если главная часть р.Лорана имеет вид

(c_m),число m – порядок полюса z=a(если m=1, полюс назыв. простым). В этом случае f(z) может быть представлена в виде . f(z)=,где -ф-я, аналитич. в тчкz=a и 0. Если для аналитич. ф-и числоz=a есть нуль порядка m , то для f(z)=это число явл. полюсом порядка m.

31. СОТ. Р.Лорана для в окрестн.бесконечно удален.тчк. z=a существенно особая тчк, если не существует предела . Тчкz=a явл. СОТ ф-и f(z) тогда и только тогда, когда главная часть ее Лорановского разложения в окрестн.тчк z=a содержит бесконечное множество членов.

Если f(z)- однозначная аналитическая функция в области |z| > R,понятие особой точки можно распространить и на бесконечно удаленную точку z=.Она является устранимой, если ; полюсом, если =,существенно особой, если Р.Лорана f(z)в окрестн. бесконечно удален.тчк: f(z)=;.Главная часть-часть, состоящ. из членов с положит. степенями z, правильная- часть, содержащ. нулевую и отрицательн. степени z.

32. Вычет аналитических функций.

Пусть f(z) аналитична в кольце К: 0<<;Тогдаz=a либо ИОТ f(z), либо правильная тчк f(z), след-но в окрестности тчк z=a f(z) раскладывается в сходящийся р.Лорана: f(z)=. Вычет f(z) в тчк z=a - комплексное число, равное коэффициенту при -1 степени тчк -разложение функции f(z) в р.Лорана в окрестности тчк z=a. -вычет. Обозначение: =(1). Т.к. коэффициент р.Лорана:d, то =d; откуда z=-dz=2*(2);-любой замкнутый контур, ограничен. тчк a; =;>0. Из (2) следует, чтоz=a - правильная тчк f(z), то =0.Пусть z=a полюс 1-го порядка.Тогда в окрестн тчк z=a, f(z) представлена р.Лорана: f(z)=++(z-a)++…(3)Умножим(3) на z=a: (z-a) *f(z)=+(z-a)++...;==(z-a).Если f(z)=, где,- функции аналитические.(a)0, 0,тогда=;Пусть z=a полюс m-го порядка. След-но р.Лорана имеет вид: f(z)=++…+++(z-a)+…;умножим на :f(z)=+(z-a)+…++.Дифференцируя последнее рав-во m-1 раз, получим: (f(z))=(m-1)!+(m-1)! (z-a)+…;==. Пусть z=a СОТ . Тогда вычет =;Если z=.Вычетом функции в тчкz=называется комплексн.число равное коэфф. при -1 степенного разложения в р.Лорана вz=, взятый с противоположным знаком: =-;== -10.

33. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению комплексных интегралов. Теорема(осн. теорема о вычетах). Пусть аналитич. в обл D за исключен. конечного числа z₁ ,z₂ …z_n ИОТ. Кривая - простой замкнут.контур, целиком лежащий в обл.D и включающ. в себя все тчк z_k ;k=;Тогда =

Док-во. Окружим каждую особую точку z_k окружно­стью _k столь малого радиуса, чтобы все окружности _k лежали внутри контура и не пересекались между собой. Согласно следствию инте­гральной теоремы Коши, имеем

= , но т.к. внутри окружн._k , нет др. ОТ, кроме z_k, ,то = .Следствие: Пуст выполняются все условия теоремы. Тогда сумма вычетов во всех ее ИОТ включаяz=равна нулю. +=0; Если:z₁-полюс 1-го порядка; z₂-полюс 4-го порядка; z=- правильная тчк, то= --. 1) Если- дробно-рациональная ф-я, аналитич. на действительной оси и в верхней полуплоскости (Im z>0), за исключением конечного числа ОТ z₁ , …z_n, лежащих в верхней полуплоскости (Im z_k >0, k=) и если при, то=. 2) Если- дробно-рациональная ф-я, аналитич. на действит. оси и в верхней полуплоскости, за исключ. конечного числа тчкz₁ , …z_n , лежащих в верхней полуплоскости, и если при , то для любого>0:dx= ;dx= Im .

34.Приложения вычетов к вычислению определенных интегралов. Если – рациональн.ф-я от,, непрерывная при 0<x<2, то сделав подстановку=z, получим: dx = Rdz. Значение интеграла в правой части равно сумме вычетов подынтегральной ф-ии относит.полюсов, лежащих внутри окружности , умноженной на.