22.Элеменарные функции комплексной переменной.

Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называ­ются основными элементарными:

1. Дробно-рациональная функция (a₀zⁿ + a₁z^n-1 +…+ a_n)/(b₀z^m + b₁z^m-1 +…+ b_m), n,mN. Частными случаями этой функции являются:

а) линейная функция az + b, a,bC, а≠0;

б) степенная функция zⁿ, п N ;

в) дробно-линейная функция (az+b)/cz+d) a,b,c,dC, с≠0, ad - bc ≠ 0;

г) функция Жуковского (z + 1/z )/2.

2. Показательная функция e^z =е^х+iу = e^x(cosy + isiny). Функ­ция e^z обладает свойствами:

1) e^Z1+Z2 = e^z1e^Z2, для любых чисел z₁, z₂;

2) е^z - периодическая с периодом 2πi, т.е. е^z = е^z+2лi;

3) e^z непрерывна на всей комплексной плоскости ;

4) для любого комплексного z = x + iy справедливы равенства:

‌ │е²│= е^х; arg e^z = у.

3. Тригонометрические функции: cosz= (e^iz + e^-iz)/2; sinz= (e^iz - e^-iz)/2i; tgz = sinz/cosz; ctgz = cosz/sinz;

4. Гиперболические функции: sh z = (e^z – e^-z)/2; chz= (e^z + e^-z)/2; thz = shz/chz; cthz=chz/shz;

5. Логарифмическая функция Ln z = In │z│ + i(arg z + 2πk), кZ. Функция Ln z является многозначной. В каждой точке z, отлич­ной от 0 и , она принимает бесконечно много значений. Выражениеln|z| + iargz называется главным значением логарифмической функции и обозначается через ln z. Таким образом, Ln z = In z + 2πk i, kZ .

6. Общая степенная функция z^a= e^aLnz, aC . Эта функция многозначная, ее главное значение равно e^alnz.

Если а=1/n, nN, то получаем многозначную функцию - корень n-ой степени из комплексного числа:Z^1/n==e^{(ln│z│ + i(argz + 2πk))/n} = e ^{i(argz + 2πk)/n}, k

7. Общая показательная функция а^z =e^zLna, аС.

Главное значение этой многозначной функции равно e^zlna. В дальнейшем при а > 0 полагаем a^z = e^zlnа.

8. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z = -iLn(iz + (l-z²)^1/2), Arccosz = -iLn( z + (z²-1)^1/2); Arctgz = -i(Ln)/2 где (z≠);Arcctgz = i(Ln)/2 где (z≠); и обратные гиперболические функции:Arcshz = Ln( z + (z²+1)^1/2); Arcchz = Ln( z + (z²-1)^1/2); Arcth z = (Ln)/2; Arccth z = (Ln)/2;Все эти функции многозначны.

24.Интеграл от функции комплексной переменной.Прмиеры.Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а Г – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G;z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, тогде z(t)=x(t)+iy(t).

Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г1, Г2...Гn. Тогда

Пример:Вычислить =>Следовательно - решеню интеграла не зависит от пути интегрированияи равен 0 вдоль любой замкнутой прямой.

25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.

Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а Г – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G;z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y.

Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то (теорема Коши),и для любой внутренней точкиимеем(интегральная формула Коши).

Доказательство: Согласно имеем интеграл по контурут.кf(z) аналитична в G то ее дейст.часть u(x,y) и мнимая v(x,y) являются функц. Непрерывными в G и в G существ. Непрерывные частные производные -> дляинегр. Стоящив в прав. части равенства имеет место формула Грина:;

= 0. То что треб. доказ.

 Кроме того, справедлива формула

Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: гдеF(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F'(z)=f(z).