12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами

Нормальной системой ДУ n-го порядка наз систему вида: ¹=f₁(t,x₁,…,x_n),

………………………, (1) ⁿ=f_n(t,x₁,…,x_n)

Или в векторной форме: =f(t,x)

Порядком нормальной системы называется число входящих в нее уравнений. Линейной системой ДУ наз. система: ⁱ=_ij(t)x_j+f_i(t), i=,i=,

=Ax+f(t) (2)

a₁₁(t) a₁₂(t) … a_1n(t)

A= a₂₁(t) a₂₂(t) … a_2n(t) (2)

…………………………....

a_m1(t) a_m2(t) … a_mn(t)

Если в (2) f(t)=0, то соотв. Система наз. однородной.

Совокупность n-функций

X₁=ф₁(t), x₂=ф₂ (t),…,x_n=ф_n(t) определенных и непрерывно диф-мых на (a;b), наз. решением системы (1) если она обращает в тождество каждое ур-е этой системы.

Рассмотрим систему:

=Ax a₁₁(t) a₁₂(t) … a_1n(t)

x₁ A a₂₁(t) a₂₂(t) … a_2n(t) (3)

x= x₂ …………………………....

… a_m1(t) a_m2(t) … a_mn(t)

x_n

a_ijЄR ; i=; j=

(3) – линейная однородная система с постоянными коэффициентами.

13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.

Линейной yнеоднородной системой ДУ называется система вида: dx_i/dt= , гдеi=1,2,…,n, j = 1, 2, …,n. Или в матричной форме =Ax + f(t), где A =. Если f(t) равно 0, то соответствующая система называется однородной. Совокупность n-функций x₁= φ₁(t), x₂= φ₂(t), …, x_n= φ_n(t) определённых и непрерывно дифференцируемых на интервале (a,b) называется решением системы , если она обращает в тождество каждое уравнение данной системы. Задача Коши для системы: необходимо найти решения x₁= х₁(t), x₂= х₂(t), …, x_n= х_n(t) системы удовлетворяющее условиям x₁= х₁₀(t), x₂= х₂₀(t), …, x_n= х_n0(t), при t→t₀.

Рассмотрим систему =Ax + f(t) (1), где A - постоянная матрица.Для нахождения общего решения системы (1), кроме общего решения соответствующей ей однородной системы, нужно знать какое-либо частное решение неоднородной системы (1). Одним из методов нахождения частного решения является метод подбора или, иначе, метод неопределенных коэффициентов. Приме­нение этого метода возможно в том случае, когда входящая в систему вектор-функция f(t) является функцией специального вида. Имеет место следующее правило. Пусть вектор-функция f(t) имеет вид f(t) = e^αt[P_l(t)cosβt + Q_m(t)sinβt], где α,β- заданные действительные числа, P_l(t), Q_m(t) – вектор функции, с компонентами в виде многочленов переменной t, степени которых равны или меньше, соответственно, l и т. Частное решение неоднородной системы (1) в этом случае ищется в виде: x^*(t)= e^αt[R_q+s(t)cosβt + T_q+s(t)sinβt],

где q=max (l,m), s =

R_q+s, T_q+s ^_ вектор функции, компонентами которых являются многочлены степени q + s с неопределенными коэффициентами.

15 Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим систему ДУ =f(x,y) (1) =g(x,y)

где f(x,y) и g(x,y)непрерывно диф-ые ф-ии в некоторой области D плоскости Оху. (Оху- будет фазовой плоскостью).

Точками покоя (или положениями равновесия) системы (1) будут точки (х;у), в которых выполняются соотношения: f(x,y)=0, п(x,y)=0.

Пусть g(0,0)=f(0,0)=0, т.е. О(0;0) явл. Точкой покоя системы (1).

Точка покоя х=у=0 системы (1) устойчива по Ляпунову, если каково бы ни было ε>0, можно найти такое δ=δ(ε)>0, что для любого решения (x(t);y(t)), начальные данные которого х(0)=х₀, у(0)=у₀ удовлетворяют условию

Iх₀I<δ, Iу₀I<δ, (2)

выполняются неравенства

Ix(t)I<ε, Iy(t)I<ε для всех t0. (3)

Каким бы узким ни был цилиндр радиуса ε и осью Оt, в плоскости t=0 найдется δ окрестность точки О(0;0;0) такая, что все интегральные кривые x=x(t), y=y(t), выходящие из этой окрестности, для всех t0 будут оставаться внутри этого цилиндра(рис1). Если, кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие ==0, то говорят, что точка покоя асимптотически устойчива.

Точка покоя х=у=0 неустойчивая, если при сколь угодно малом δ>0 хотя бы для одного решения (x(t); y(t)) условие (3) выполняется.