2.Однородные ду

Ф-я P(xy) наз. однородной ф-ей степени m, если t она удовлетворяет равенству: P(tx,ty)=P(xy). Ур-е вида(1) наз. однородным, если входящие в него ф-ии P(xy), Q(xy)-однородные ф-ии одной степени.Ур-е (1) можно решить при помощи замены y=ux, u-неизвестная ф-я, x-аргумент.

P(tx,ty)=P(xy); t=;P(1,)=P(xy); Q(1,)=Q(xy);

P(xy)=P(1,); Q(xy)=Q(1,)

P(1,)dx+Q(1,)dy=0;

P(1,u)dx+Q(1,u)dy=0; dy=xdu+udx;

P(1,u)dx+Q(1,u)(xdu+udx)=0; (P(1,u)+uQ(1,u))dx+xQ(1,u)du=0

Ln(x)+du=C; u=;

К однородным ур-ям приводятся также уравнения вида: y’=f();Замена переменной:

x=+; y=+; y’(x)=(x);(x)=f();

; Находим и,и сводим к однородному.

4-1. ДУ 1-го порядка,интегрируемые в квадратурах.

1. Линейные уравнения. Ур-е вида(1): y’+p(x)y=q(x) и (1’):x’+p(y)x=q(x), гдеp и q непрерывны на некот. интервале(a,b),называются линейными относительно y и x. Если q(x)0 (q(y)0), то(1) ((1’)) называется однородным ,еслиq(x)0 (q(y)0), то (1) ((1’)) наз.линейным неоднородным.

y’+p(x)y=0; +p(x)y=0;+dx=;

ln(y)+dx=lnC; y=C=C(3);

=; Т.к.y=o входит в решение (3),то формула(3) есть общее решение ур-я (2).

Лин.неодн.у-е: y’+p(x)y=q(x); При этом решение у-я(1) будем искать в виде(4): y=C(x), где=;C(x)-некоторая неизв.ф-я. Подставим (4) в (1):

(C(x))’+p(x)(C(x))=q(x)

C’(x)+C(x)’+p(x)C(x)=q(x);

=(-p(x))=(-p(x));

C’(x)-C(x)p(x)+p(x)C(x)=q(x);

C’(x)=q(x);=q(x); dC(x)=dx;

C(x)=dx+C; Подставляя найденное C(x) в (4) получим формулу Бернулли:

y=C+dx;Описанный метод решения ур-я (1) называют методом вариации произвольной постоянной или или метод Лагранжа. Другим методом решенияу-я (1) явл. метод Бернулли. В (1) делают замену y=UV,U=U(x), V=V(x)-непрерывно диф-мые на (ab) ф-ии, причём U(x)0,V(x)0. После подстановкиy (1) получим:

(UV)’+p(x)UV=q(x); U’V+UV’+p(x)UV=q(x);

V+U(+p(x)V)=q(x) (5); Требуем, чтобы :+p(x)V=0 и ищем частное решение этого ур-я.

+p(x)V=0; lnV=-+lnC; lnC=0;

V=; подставляя это решение в (5)получаем:=q(x);dU=q(x)dx; домнажаем на ,

dU=q(x)dx, откуда: U=q(x)dx+C, окончательное общее решение у-я (1) принимает вид:

y=C+q(x)dx.

4-2.

2.Ур-ем Бернулли- наз.нелинейное ДУ 1-го порядка вида(1): y’+p(x)y=q(x), где - любое действ.число. Ур-е (1) можно свести к линейному при помощи заменыU=, либо решать его при помоши подстановкиy=U(x)V(x), тогда получаем(2):V+U()=q(x); Далее ищем частное решение ур-я: +p(x)V=0; (V=V(x)), подставляя которое в (2) получаем ур-е с разделяющимися перемпнными для нахождения неизвестной ф-ии U. Подставляя найденные U(x) и V(x) в y=UV,получаем общее решение у-я (1).

3.Уравнения в полных дифференциалах. Ур-е вида(1): P(xy)dx+Q(xy)dy=0;наз. ур-ем полных диф-лов, если его левая часть является полным диф-лом некот. ф-ии U: P(xy)dx+Q(xy)dy=U; U=U(xy); Если ф-ии P, Q, ,непрерывны в некот.односвязной областиD, тоусловие , =является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение (Pdx+Qdy) было полным диф-лом ф-ии U.

1)P(xy)=; Q(xy)=;

2)U=U(xy)=;

3)=(=Q(xy)

4)=f(y);

5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.

ДУ n-ого порядка наз. у-е вида:F(x,y,y’,y’’,…,)=0. Зушением такого ур-я служит всякое n раз непрерыв.диф-мая ф-я y=(x) определённая на (ab) и обращающая данное у-е в верное тождество. F(x,(x),’(x),…,)0. Задача Коши для у-яn-ого порядка заключ. В том, чтобы найти решение у-я удовл. условию (1):y=;y’=;=; приx=, где,,…-заданные числа,кот. наз.начальными условиями.

Ф-я y=(x,,,…,) наз. общим решением ДУn-ого порядка в области единственности решения зад.Коши, если она удовлетворяет этому условию при любых значениях произв. постоянных ,k=и каковы бы нибыли нач. усл. (1) всегда можно подобрать числа,,…,, которые будут удовлетворять нач.усл. (1).

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значениях переменных наз. частным решением этого уравнения. Уравнение может иметь частные решения ,кот. не получаются из общего решения(особые). Выражение вида Ф(x,y,,,…,)=0, определяющее общее решение как неявную ф-ю наз. общим ин-лом ДУ. Ур-еn-ого порядка, разрешённое относительно старшей производной имеет вид (2):

=f(x,y,y’,…,);Теорема сущ. и единст.реш.зад.Коши: Если в (2) ф-я f(x,y,y’,…,) в некоторой областиD непрерывна и имеет непрерывные частные производные ;;то для любой точки (,,,…,)D существует такой интервал -h<x<+h, на котором существует притом единственное решение уравнения(2),удовл. усл.(1).

6.ДУ n-ого порядка,допускающие понижение порядка.

Интегрирование у-я n-ого порядка удаётся только в некоторых частных случаях. Рассмотрим у-е допускающее понижение порядка:

1)=f(x); Решение этого у-я находится n-кратным интегрированием:

==(x)+;

=dx=(x)+x+;

Y=y(x)=(x)+++x+;

—произвольные постоянные величины.

Общее решение может быть записано в виде:

Y=(x)+++…++;

2)У-я вида: F(x,,…,)=0 – у-я несодержащие искомой ф-иy и её производные до порядка k-1 включительно. С помощью замены =z(x), порядок этого у-я понижается на k единиц.

=z(x) : F(x,z,…,)=0; Если можно найти общее решение этого у-яz=(x,,…,), то искомая ф-яy(x) получается путём k-кратного интегр. ф-и (x,,…,).

3)У-е вида F(y,,…,)=0 – это у-е ,которое явно не содержит независимой переменной, тогда подстановкойy ’=z(y), порядок этого уравнения уменьшается на единицу.

4)У-я вида (Ф(x,y,y ’,)=0 – это у-е, у которого левая часть может быть представлена как полная производная по х некот. ф-ии Ф. Если это уравнение проинтегрировать по х, то получается у-е, порядок кот.на единицу меньше исходного.

5)У-е вида F(x,y,y ’,)=0, гдеF-однородн.ф-я относительно y и её производных. Подстановкой y ‘=zy порядок у-я уменьшается на единицу.

7.Линейное ДУ n-го порядка – ур-ие вида + (x)+ … +(x)y’ + y = f(x) (*), где (x), =иf(x) непрерывны на (a,b). Линейный див. оператор n-го порядка выражение вида =+(x)+… +(x)+(x). Свойства [y] = f(x): а)однородности: [cy] = c[y] б)аддитивность: [+] =[+[].

Ур-е (*) наз. Линейным неоднородным, если f(x) ≠ 0, если f(x) ≡ 0, т.е. [y] = 0, то его называют- лин. однродным. Задача Коши: найти решения (*) удлетвор. условиям y() =,y`() =’,…,() =(**)- начальные условия.

Общее решение ур-я (*) – ф-ия y = (x,,…,), зависящая от n и удлетворяющая условиям:

1. при любых,…, ф-ия y = (x,,…,) явл. решением (*).

2. для любых (**) можно подобрать ,…,постоянных,…,, что y = (x,,…,) будет удовлетворять(**).

Свойства лин. однор. урав.:

1. если ф-ции,,…,линейно зависемы на (a,b), то определитель Вронского равен 0 на (a,b).

2. если опред. Вронского ≠ 0 при x = (a,b), составленный для решений ,ДУy’’+py’+qy=0, то он ≠ 0 ни при одном x из (a,b).

3. если решения ,ДУy’’+py’+qy=0, линейно независимы на (a,b), то опред Вронского ≠ 0 ни при одном x из (a,b).

Структура общ реш неоднор лин уравнения – сумма какого-нить частного решения y* этого уравнения и общего решения соответсвующего уравнения, т.еy = y* +