46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.

Найдём частное решение д.у.: ++ … +(y)’ + y = f(t) – формула (1), начальные условия которого y(0)=;y ’(0) = ,…,(0) =,где,,…,- заданные числа. Пусть ф-яy(t),все её производные и f(t) являются оригиналами. Тогда y(t) Y(p); y’(t)pY(p) - ;f(t) F(p). Перейдём в (1) от оригиналов к изображениям: Y(p) - - … -) +(Y(p) - - … -) +…+(p Y(p)- ) +Y(p)=F(p). Полученное ур-е называют операторным(ур-ем в изображениях). Решаем относительно Y(p): Y(p)(++…+p +) = F(p) +(++…+) +(++…+) +…+, т.е.Y(p)(p) = F(p)(p) , где (p) и (p) – алгебраические многочлены от p степени n и n – 1, соответственно. Откуда Y(p) = F(p)(p)/(p) - ф-ла (2). Полученное равенство наз. операторным решением д.у. (1). Если все начальные условия равны нулю, т.е. y(0)= y ’(0)= …= (0) = 0, то выражение примет вид:Y(p) = F(p) /(p) – формула (3). Находя оригинал y(t), соответствующий изображению (2), получим частное решение д.у. (1). Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при t ≥ 0). Указанным методом можно найти и общее решение д.у. (1), для этого начальные условия запишутся в виде: y(0)= ,y ’(0)=,…,(0) =. При решении д.у. иногда удобно использовать формулу Дюамеля. Рассмотрим ур-е (1) при нулевых начальных условияхy(0)= y ’(0)= …= (0) = 0. Предположим, что известно решение(t) ур-ия (1) при правой части f(t) = 1 и нулевых начальных условиях. Так как f(t) =1 F(p) = 1/p , формула (3) будет (p)= 1/(p(p)) – формула (4), где (p) – изображение решения (t). Из (3) и (4) находим Y(p)= pF(p)(p). Согласно формуле Дюамеля: pF(p)(p)f(t)(0) +(f(τ) (t-τ))dτ. Так как (0)= 0, тоpF(p)(p)(f(τ) (t-τ))dτ. Тогда решение ур-я (1) при нулевых начальных условиях будет иметь вид: y(t) = (f(τ) (t-τ))dτ, где – решение ур-я (1) приf(t) =1 и нулевых начальных условиях.

47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.

Пусть i(t), u(t) – ток и напряжение. Тогда I(p) i(t); U(p) u(t) операторный ток и напряжение соответственно. (t) = R i(t) – напряжение на резисторе, (t) = L d(i(t))/dt –напряжение на катушке с индуктивностью L. (t) = i(τ)dτ + (0) – напряжение на конденсаторе, с ёмкостью С. Переходя к изображениям:(p) = R I(p), (p) = pLI(p) – Li(0), (p) = I(p) + (0). Используя закон Ома в операторной форме, для произвольного участка цепи можно записатьU(p) = Z(p) I(p), где Z(p) – операторное сопротивление указанного участка цепи. Тогда для участка цепи с R, L, C при начальных условиях операторное сопротивление имеет вид (p)= R, (p) = Lp, (p)=p соответственно. При ненулевых начю усл-ях у имеющимся в цепи источникам э.д.с. добавляются дополнительные источники энергии. Величины э.д.с. дополнительных источников определяются запасами энергии в индуктивности и ёмкости и равно в операторном виде соответственно Li(0) и – (0).

48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.

Рассмотрим д.у. a∙ +b∙ +cu +∙ ∙+∙= 0 – формула(1),a, b, c, ,- непрерывные ф-ии, зависящие только от х, заданные на отрезке [0,]. Считаем, чтоa > 0 и будем рассматривать 2 случая: 1. < 0 (гиперболический случай), 2.0,< 0 (параболический случай). Нужно найти решениеu(x,t) д.у. (1) для 0 ≤ x ≤ иt ≥ 0, удовл-щее нач. условиям u(x,0) = (x) (для параболического случая), u(x,0) = (x),=(x) (для гиперболического), и краевым условиям u(0,t)= f(t), α(,t) + β∙ (,t) = u(,t), где α, β, - постоянные. При→ второе граничное условие отпадает. Предполагая, что u, и, рассматриваемые как функции переменнойt, являются оригиналами, обозначим через U(p,x)= u(x,t)exp(-pt)dt изображение функции u. Тогда имеем exp(-pt)dt = ,exp(-pt)dt = . По правилу дифференцирования оригиналов:pU – u(x,0), U – u(x,0)p - (x,0). С учётом начальных условий: pU –(x), U – (x)p - (x). Предполагаем, что f(t) является оригиналом и F(p) f(t), тогда из граничных условий имеем =F(p), (α+ β(pU-))=. Операционный метод приводит решение нестационарной задачи для ур-ия (1) с частными производными к решению обыкновенного д.у.a∙ +b∙ +AU + B, где A = с + +p, B= – p - - , p – комплексный параметр, при граничных условиях: =F(p), (+ (βp – )U - β)= 0.