19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.

Число A≠ называется пределом функции f(z) при z→z₀ и обо­значается А = , если для любогоε>0 найдется δ=δ(ε)>0 такое, что для всех z≠z₀, удовлетворяющих неравенству │z - z₀│< δ, выполняется неравенство │f(z)-А│< ε.

Следует иметь ввиду, что для данной функции f(z) существо­вание предела по любому фиксированному пути (z→z₀) еще не га­рантирует существования предела f(z) при z→z₀.

Функция f(z) называется непрерывной в точке z₀, если она определена в этой точке и = f(z₀).

Функция f(z), непрерывная в каждой точке области D, называ­ется непрерывной в этой области.

Функция f(z) называется равномерно непрерывной в области D, если для любого ε > О найдется δ=δ(ε)>0 такое, что для любых точек z₁ и z₂ из области D таких, что │z₁ – z₂│< δ, выполняется нера­венство │f(z₁) – f(z₂)│< ε.

20-1.Производная аналитической функции. Условия Каши-Римана.

Пусть функция w=f(z) определена в некоторой области D комплексной переменной z.

Производной функции f{z) в точке z называется в точкеz и обозначается через f ’(z) или .

Если в точке zD функция f(z) имеет производную f ’(z), то говорят, что функция f(z) дифференцируема в точке z.

Функция f(z), дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную f ’(z), называется аналитической в области D. Будем также говорить, что f(z) анали­тическая в точке z₀D, если f(z) является аналитической в неко­торой окрестности точки z₀.

Теорема . Для того, чтобы функция f(z) = u(x,y) + iv(x,y) была аналитической в области D, необходимо и достаточно сущест­вование в этой области непрерывных частных производных функций u(х,у) и v(x,у), удовлетворяющих условиям Коши-Римана: =и=;

Доказательство. Докажем необходимость условий Коши-Римана. По предположению, существует предел

= f ‘(z); Поскольку этот предел не зависит от характера стремления =к нулю, то, устремляя Δz к нулю по вертикальному и по горизонтальному отрезкам, т.е. полагая первый раз Δу = 0, Δх→0, а второй раз Δx = 0, Δу→0, получаем: f ‘(z)= иf ‘(z)= ;

20-2.

Сравнивая действительные и мнимые части в последних форму­лах, получаем условия (1).

Покажем теперь, что выполнение условий (1) в области D. при дополнительном требовании существования полных дифференциалов у функций u(х,у) и v(x,y), является достаточным для дифференци­руемоести функции f(z) в области D. В самом деле, существование полных дифференциалов du и dv равносильно равенствам: Δu= Δx + Δy + η₁(x,y,Δx,Δy); Δv= Δx + Δy + η₂(x,y,Δx,Δy), где величины η₁ и η₂ являются бесконечно малыми высшего порядка по отношению к │Δz│ = ((Δx)² + (Δy)²)^1/2 при Δz→0. Вводя обозначения =/2;=/2; будем иметь: Δf=Δz + Δ + η₁ + η₂.

Используя комплексную запись = 0 условий (1) и принимая во внимание равенство, получим, что существует предел=f' ‘(z), т.е. функция в области D дифференцируема. □

При выполнении условий (1) производная f '(z) может быть записана соответственно: f '(z) = + i = =-i = .

Формулы дифференцирования функций комплексной переменной аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.

21.Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

1.Пусть в области D комплексн.плоскоти z задана аналиттич.функц. .Тогда всюду в этой области функ.u и v связвны условием Коши-Римана: .Так как аналитическая функция имеет в области D производные всех порядков, то и функцииu(х, у) и v(x, у) имеют в соответствующей области плоскости x, у частные производные любого порядка. Это позволяет дифференцировать (2) по переменным х, у любое число раз. Продифференцировав (2) по х, второе - по у и сложив, получим:  u(x,y) и v(x,y)гармонические в D плоскости x,y и они связан. условием (1). Тем самым необходимым и достаточным условием аналитичности функции(1) в обла­сти D является требование, чтобы u(х, у) и v(x, у) были гармоническими и удовлетворяли условиям (2) в соответ­ствующей области плоскости x, у.

2.Пусть функция аналитичиа в точке

Геом. смысл модуля производ.: ве­личина определяет коэффициент растяжения (подобия) в точкепри отображенииВеличинуназывают коэф­фициентом растяжения, если, или коэффициентом сжатия.

-это угол, на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке(точка с полож.направлением действит.осей на плоскостиz и w). Или — это угол между отображенным и пер­воначальным направлениями касательных к кривым I и L в точкахисоответственно.геом. смысл аргумента производ. .