16 Устойчивость по первому приближению

Пусть имеем динамическую систему

¹=f₁(t,x₁,…,x_n),………………………, (1) ⁿ=f_n(t,x₁,…,x_n)

с точкой покоя О(0;0), где ф-ии f(x,y) и g(x,y) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности начала координат.

Разложим ф-ии f(x,y) и g(x,y) по ф-ле Тейлора по x,y в окрестности начала координат:

f(x,y)=ах+by+R₁(x,y), g(x,y)=cx+dy+R₂(x,y), где а=,b=,c=,d=, аR₁,R₂ – члены второго порядка малости относительно x,y.

Тогда исходная система (1) примет вид: =ax+by+R₁(x,y), (2)

=cx+dy+R₂(x,y),

Вместо (2) рассмотрим систему: =ax+by (3)

=cx+dy

(3)- система уравнений первого приближения для системы(1)

Замечание1. Если точка (х₀;у₀)- некоторое другое положение равновесия системы(1), то система первого приближения строится так: в системе(1) сначала сделаем замену x=u+x₀, y=ν+y₀ и получим ф-ии (u,ν)=g(u+x₀,ν+y₀), (u,ν)=f(u+x₀,ν+y₀), а дальше поступаем так же, как и раньше с заменой х на u, а у на ν.

Справедливы следующие выражения:

1.Если все корни характеристического ур-я

λ²-Sp Aλ+detA=0 (4)

имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение х=у=0 системы (3) и системы (2) асимптотически устойчиво

2.Если хотя бы 1-н корень ур-я (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (3) и системы (2) неустойчиво.

Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по 1-му приближению.

17-1.Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.

Рассмотрим систему двух ли­нейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Очевидно, что x(t)=0 и y(t)=0 является решением системы, удовлетворяющим нулевым начальным условиям х(0)=0, у(0)=0. Предполагаем, что начало координат O (0; 0) является единственной точкой покоя системы (1), т.е. Δ==0. Будем искать общее решение системы (1) методом Эйлера. Характеристическое уравнение имеет вид:=λ²-(α₁₁+α₂₂)λ+(α₁₁α₂₂-α₁₂α₂₁)=0 (2); Из (2) следует, что λ=0 не может быть корнем характеристи­ческого уравнения. Возможны случаи:

1. Корни λ₁ и λ₂ действительные и различные. Пусть γ₁=иγ₂=- собственные векторы матрицы А=, соответствующие характеристическим числам λ₁ и λ_2. Тогда общее решение системы (1) имеет вид: х=С₁γ₁₁e^λ1t + C₂ γ₁₂e^λ2t, y= С₁γ₂₁e^λ1t + C₂ γ₂₂e^λ2t (3), где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

1.1. Если λ₁<0, λ₂<0 то из (3) видно, что точка покоя асимптотически устойчива и называется устойчивым узлом (рис.1).

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

1.2. Если λ₁>0, λ₂ >0, узел неустойчивый (рис.2).

1.3. Если λ₁ λ₂<0, то точка покоя называется седлом (рис.3).

17-2.

2. Корни λ₁ и λ₂ комплексные, т.е. λ₁=α + iβ, λ₁=α - iβ. Общим решением системы (1) будет

х = е^αt (С₁₁ cosβt + С₁₂ sinβt), у = е^αt (С₂₁ cosβt + С₂₂ sinβt) (4), где С₁₁,С12,С_21,С₂₂ - являются линейными комбинациями произвольных постоянных С₁,С₂.

2.1. Если α<0, то, на основании (4), заключаем, что при t→ точка (х;у)→О(0;0). Положение равновесия в этом случае называют устойчивым фокусом (рис.4).

2.2. Если а > 0, то точка покоя - неустойчивый фокус, т.е. при t→ точка (х;у) бесконечно удаляется от начала координат (рис.5).

2.3. Если а=0, общее решение системы принимает вид х= С₁₁ cosβt + С₁₂ sinβt, y= С₂₁ cosβt + С₂₂ sinβt (5).

Фазовые траектории являются эллипсами с центром в точке (0;0). Положение равновесия называется центром (рис. 6).

3. Корни кратные, т.е. λ₁=λ₂= λ. Общее решение имеет вид: х=(С₁+С₂t)e^λt , y= (С₃+С₄t)e^λt (6),

где C₁, C₂, C₃, C₄ - линейные комбинации произвольных постоянных С₁,С₂ .

При λ<0 и t→точка (х;у)→(0;0). Положение равновесия будет асимптотически устойчивым и называется вырожденным узлом (рис.7).

При λ>0 и t→точка бесконечно удаляется от начала коор­динат (х;у). Вырожденный узел будет неустойчивым (рис.8).

18.Комплексные числа, арифметические операции. Формулы Эйлера. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действи­тельных чисел (a;b), которая записывается в виде z = (a;b). Число а называется действительной частью комплексного числа z (a=Rez), а число b – мнимой частью z (b=Imz). Любое действительное число а можно рассматривать как пару (а,0)С. Особую роль играет пара (0,1), т.к. (0,1)²=-1. Пару (0,1) обозначают буквой i, где i – мнимая единица, т.е. i²=-1. С учётом последнего обозначения комплексное число можно записать в виде: z=a+ib. Такую форму записи называют алгебраической. Арифметические операции: 1.z₁ + z₂ =(a₁,b₁) + (a₂,b₂) =(a₁ + a₂, b₁ + b₂). 2. z₁z₂= (a₁,b₁) (a₂,b₂) = (a₁a₂ – b₁b₂,a₁b₂ +a₂b₁).

Число z₁=a-ib называют сопряженным к комплексному числу z и обозначают =a-ib.

Комплексные числа обладают всеми свойствами действительных чисел, за исключением отношения порядка. Имеет место формула Эйлера: е^iφ=cosφ +isinφ, e⁰=1, e^2πki=-1, значит функция е^я периодическая. T₀=2πi – её минимальный период. С учётом формулы Эйлера получают: cosφ= (e^iφ + e^-iφ)/2; sinφ= (e^iφ - e^-iφ)/2i.