42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.

Операционное исчисление – один из методов матем. анализа, позволяющий сводить решения некоторых задач к более простым алгебр. ур-ям. 1. От неизвестных функций переходят к некоторым др. ф-ям – изображениям. 2. Производят все необходимые вычисления над изображениями. 3. Получив результат, возвращаются назад к искомым функциям – оригиналам. Оригинал – комплексная ф-ия f(t) действительного переменного t, удовлетворяющую следующим условиям: 1. f(t)>0, если t<0; 2. f(t) – кусочно непрерывная, интегрируемая ф-ия на любом конечном интервале оси Оt; 3. с возрастанием t модуль ф-ии f(t) растёт не быстрее некоторой показательной ф-ции, т.е. сущ-ют числа М>0 и ≥0, такие, что для всех t имеем | f(t)| ≤ Mexp(). Нижняя грань множества чисел, удовлетворяющих этому неравенству наз. показателем роста ф-ции f(t). Изображением ф-ции f(t) (по Лапласу) наз. ф-ия f(t) комплексного переменного p=s+iδ, определяемая равенством: F(p) = f(t)dt , которое ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p) и называется преобразованием Лапласа. Соответствия между оригиналом и изображение записывается в виде f(t) F(p). Св-ва преобразований Лапласа. Пусть f(t), g(t), h(t) – оригиналы, а F(p), G(p), H(p) – изображения. 1. Линейность. Для любых комплексных постоянных α и β имеет место αf(t) + βg(t) αF(p) + βG(p), т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует линейная такая же комбинация изображений. 2. Подобие. Для любого α>0 имеет место f(αt) F( ), т.е. умножение аргумента на положительное числоα приводит к делению изображения аргумента на это число. Док-во: пусть αt = τ, тогда f(αt) f(αt)dt = f(τ)exp()dτ = F().

43. Св-ва преобразования Лапласа: дифференцирование, интегрирование, запаздывание, смещение, свёртка.

Св-ва преобразований Лапласа. Пусть f(t), g(t), h(t) – оригиналы, а F(p), G(p), H(p) – изображения. 1. Дифференцирование оригинала. Если f ’(t), f ‘’(t),…, t) – оригиналы и f (t), f ‘(t),…, t) – непрерывны, то: f ’(t) p∙F(p)-f(0); f ‘’(t) F(p)-pf(0)-f ’(0); t) F(p) - f(0) -…- 0). 2.Дифференцирование изображения. Дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (–t), т.е. F ’(p) –t∙f(t); (p) = ∙∙f(t). 3. Интегрирование оригинала. f(τ)dτ , т.е. интегрированию оригинала от 0 доt соответствует деление его изображения на p. 4. Интегрирование изображения. Если F(z)dz сходится, то F(z)dz , т.е. интегрированию изображения отp до соответствует деление его оригинала наt. 5. Запаздывание. Для любого τ >0 имеем f(t-τ)F(p), т.е. запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения без запаздывания на . Док-во: так как f(t-τ)=0 при t< τ, то делая замену переменных t-τ = , получим: f(t-τ)f(t- τ)dt = d = F(p).6. Смещение. Умножение оригинала на приводит к смещению переменной p, т.е. f(t)F(p-α), – произвольное комплексное число. Док-во: f(t) f(t)dt = F(p-α).7. Свёртка. Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов. H{f(t)*g(t)}=H{f(t)}*H{g(t)}.