44. Формулы обращения преобразования Лапласа.

1. Изображением ф-ции f(t) (по Лапласу) наз. ф-ия f(t) комплексного переменного p=s+iδ, определяемая равенством: F(p) = f(t)dt , которое ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p) и называется преобразованием Лапласа. 2. Линейность. Для любых комплексных постоянных α и β имеет место αf(t) + βg(t) αF(p) + βG(p), т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует линейная такая же комбинация изображений. 2. Подобие. Для любого α>0 имеет место f(αt) F( ), т.е. умножение аргумента на положительное числоα приводит к делению изображения аргумента на это число. 3. Дифференцирование оригинала. Если f ’(t), f ‘’(t),…, t) – оригиналы и f (t), f ‘(t),…, t) – непрерывны, то: f ’(t) p∙F(p)-f(0); f ‘’(t) F(p)-pf(0)-f ’(0); t) F(p) - f(0) -…- 0). 4.Дифференцирование изображения. Дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (–t), т.е. F ’(p) –t∙f(t); (p) = ∙∙f(t). 5. Интегрирование оригинала. f(τ)dτ , т.е. интегрированию оригинала от 0 доt соответствует деление его изображения на p. 6. Интегрирование изображения. Если F(z)dz сходится, то F(z)dz , т.е. интегрированию изображения отp до соответствует деление его оригинала наt. 7. Запаздывание. Для любого τ >0 имеем f(t-τ)F(p), т.е. запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения без запаздывания на . 8. Умножение изображений. F(p)∙G(p) f(τ) g(t- τ)dτ. 9. Умножение оригиналов. f(t) ∙ g(t) F(z) G(p-z)dz , гдк путь интегрирования – вертикальная прямая Re z = .10. Т1. Если ф-я F(p) в окрестности точки p= может быть представлена в виде ряда Лорана: F(p)= =++…, то ф-яf(t)=∙=+t +…(t > 0) является оригиналом, имеющим изображение F(p), т.е. F(p)= ∙=f(t). 11. Т2. Если F(p)=А(р)/B(р) – правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет простые корни ,, … ,, то ф-ияf(t) = [(A()/B’()) ∙exp()] явл. Оригиналом, имеющим изображениеF(p), а F(p) = (А(р)/B(р)) Res[F()exp()] =f(t).

45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.

Т1. Если ф-я F(p) в окрестности точки p= может быть представлена в виде ряда Лорана:

F(p)= =++…, то ф-яf(t)=∙=+t +…(t > 0) является оригиналом, имеющим изображение F(p), т.е. F(p)= ∙=f(t). Док-во: Ряд сходится в некоторой окрестности бесконечно удалённой точки, т.е. существуетR, что этот ряд сходится при |p| > R. Тогда ряд ∙= Ψ(z) сходится при |z| < 1/R. Пусть < 1/R. Ряд для Ψ(z) сходится в замкнутом круге |z| < , сумма его непрерывна в этом круге и поэтому ограничена: |Ψ(z)| < M. Используя оценки Коши коэффициентов ряда Тейлора || <M/) и предполагая, что 0 <t < , получаем∙| < (M/) ∙/) = (M/) ∙exp(). Следовательно, ряд дляf(t) сходится при 0 < t < и ф-ияf(t) является оригиналом. Применяя n!/, получимf(t) = ∙.Т2. Если F(p)=А(р)/B(р) – правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет простые корни ,, … ,, то ф-ияf(t) = [(A()/B’()) ∙exp()] явл. Оригиналом, имеющим изображениеF(p), а F(p) = (А(р)/B(р)) Res[F()exp()] =f(t).