- •2.. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье.
- •I.Свойство линейности.
- •II. Теорема о сдвигах.
- •IV.Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.
- •V. Теорема о свёртке.
- •VI.Теорема Планшереля
- •5.. Спектры модулированных сигналов.
- •6... Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала
- •7… Преобразования Гильберта и его свойства. Применение преобразования Гильберта.
- •1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов
- •8... Автокорреляционная функция и ее свойства. Связь автокорреляционной функции и энергетического спектра сигнала.
- •9.. Взаимокорреляционная функция и ее свойства. Связь взаимокорреляционной функции и взаимного энергетического спектра.
- •10.. Дискретное преобразование Фурье. Свойства дискретного преобразования Фурье. Обратное дискретное преобразование Фурье.
- •11 Алгоритм быстрого преобразования Фурье. Число вычислительных операций. Сравнение дискретного и быстрого преобразования Фурье.
- •13.. Стационарные и эргодические случайные процессы.
- •14 ..Спектральные представления случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина.
- •15 Белый шум и его свойства. Гауссовский случайный процесс.
- •17.. Шумоподобные сигналы и их свойства. Применение шумоподобных сигналов.
- •19.. Модуляция шумоподобных сигналов по форме и их детектирование.
- •20.. Основные положения линейной теории разделения сигналов. Структурная схема системы многоканальной передачи информации.
- •21.. Фазовое разделение сигналов.
- •22 Разделение сигналов по форме. Системы подвижной связи сдма.
- •23.. Информационные характеристики дискретных сообщений и сигналов.
- •24.. Взаимная информация и ее свойства.
- •25.. Пропускная способность каналов связи.
- •26 ..Информация в непрерывных сигналах. Дифференциальная энтропия.
- •27.. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия.
- •28.. Задача оптимального приема дискретных сообщений. Элементы теории решений.
- •29.. Критерии оптимизации приема дискретных сообщений.
- •30.. Алгоритм оптимального приема дискретных сообщений при полностью известных сигналах (Когерентный прием).
- •31.. Реализация алгоритма оптимального когерентного приема на основе корреляторов
- •33 Потенциальная помехоустойчивость оптимального когерентного приемника дискретных сообщений.
- •34.. Сравнение по помехоустойчивости систем когерентного приема с различными видами дискретной модуляции.
- •35.. Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием).
- •36 Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме.
- •37 Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями.
- •38 Основные принципы цифровой фильтрации
- •39 Характеристики и свойства цифровых фильтров. Алгоритм линейной цифровой фильтрации.
- •40 Трансверсальные (нерекурсивные) цифровые фильтры
- •41 Рекурсивные цифровые фильтры.
- •42 Устойчивость цифровых фильтров
- •43 Понятие вейвлет-преобразования. Основные вейвлеты, применяемые в системах связи.
- •44 Непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования.
- •16.2 Дискретный вейвлет-анализ.
- •16.3 Непрерывное вейвлет-преобразование
6... Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала
Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:
(3.1)
Назовём функцию
(3.2)
аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t).
Итак, аналитический сигнал:
(3.6)
На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу .
(3.8)
Анализируя (3.7) и (3.8), можно убедиться в том, что спектральная плотность исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:
. (3.9)
7… Преобразования Гильберта и его свойства. Применение преобразования Гильберта.
Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол -в области положительных частот и на уголв области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула. (3.9) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций и которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .
Таким образом, сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:
(3.11)
Можно поступить и по иному, выразив сигнал через, который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.9) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:
Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.11) лишь знаком:
(3.12)
Формулы (3.11) и (3.12) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.
Символическая запись его такова:
(3.13)
Функция называется ядром этих преобразований.
Свойства преобразований Гильберта.
1) Простейшее свойство – линейность. (3.14)
2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: (3.15)
3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо исходный сигнал ) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу»
4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.
Некоторые применения преобразований Гильберта
1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов
(3.16)
2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.
Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала с опорной частотой . Спектр данного сигнала:
Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе. Тогда на основании формулы (3.9) спектр сопряжённого сигнала:
(3.17)
Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала
(3.18)
Отсюда следует что узкополосному сигналу
соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.
(3.19)
3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.
В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигналаS(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:
(3.20)
По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :
(3.21)
Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:
(3.22)
Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.20, 3.21, 3.22) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.
Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.