5.. Спектры модулированных сигналов.

Чтобы осуществить эффективную передачу сигналов в какой-либо среде, необходимо перенести спектр этих сигналов из низкочастотной области в область достаточно высоких частот. Данная процедура получила в технике связи название модуляции.

Широкое распространение получили системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое колебание

(2.24)

имеющее три свободных параметра , и. Изменяя во времени тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции.

Спектр однотональной амплитудной модуляции (АМ). Простейший АМ-сигнал может быть получен в случае, когда модулирующим низкочастотным сигналом является гармоническое колебание с частотой

Такой сигнал называется однотональным АМ-сигналом. Такой сигнал можно представить как сумму простых гармонических колебаний с различными частотами. Используя известную тригонометрическую формулу произведения косинусов, из выражения (2.25) сразу получаем:

(2.26)

Формула (2.26) устанавливает спектральный состав однотонального АМ-сигнала. Принята следующая терминология: - несущая частота,- верхняя боковая частота,нижняя боковая частота.

Строя по формуле (2.26) спектральную диаграмму однотонального АМ-сигнала, следует обратить внимание на равенство амплитуд верхнего и нижнего боковых колебаний, а также на симметрию расположения этих спектральных составляющих относительно несущего колебания.

Если рассмотреть вопрос о соотношении мощностей несущего и боковых колебаний, то путём несложных математических преобразований можно убедиться, что средняя мощность АМ-сигнала равна сумме средних мощностей несущего и боковых колебаний.

(2.28)

Даже при 100%-ной модуляции (М=1) доля мощности обоих боковых колебаний составляет лишь 50% от мощности немодулированного несущего колебания.

А поскольку информация о сообщении заключена в боковых колебаниях, можно сделать вывод о неэффективности использования мощности при передаче АМ-сигнала.

Спектр АМ при сложном модулирующем сигнале. На практике однотональные АМ-сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма.

(2.31)

Спектральное разложение проводится так же, как и однотонального АМ-сигнала:

(2.32)

На рисунке а) изображена спектральная диаграмма модулирующего сигнала S(t), построенная в соответствии с формулой (2.30). Рисунок б) воспроизводит диаграмму многотонального АМ-сигнала, где помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. С целью упрощения изображены только физические спектры.

Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулированного сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину . Спектр нижних боковых колебаний также повторяет спектральную диаграмму сигналаS(t), но располагается зеркально относительно несущей частоты . Отсюда следует важный вывод: ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Балансная АМ. Как видно из предыдущего, значительная доля мощности АМ – сигнала сосредоточена в несущем колебании. Для более эффективного использования мощности передатчика можно формировать АМ – сигналы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную АМ (БМ). На основании формулы (2.24) представление однотонального АМ – сигнала с БМ таково:

При многотональной БМ аналитическое выражение сигнала принимает вид:

(2.34)

Рассмотрим спектральную и временную диаграмму БМ – сигнала.

Как и при обычной АМ, в спектре БМ наблюдается две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний.

Если рассмотреть временную диаграмму биений, может показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет несущей частоты, хотя налицо присутствие высокочастотного заполнения, изменяющегося во времени именно с этой частотой.

Дело в том, что при переходе огибающей биений через нуль фаза высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180 градусов, поскольку функция имеет разные знаки слева и справа от нуля. Если такой сигнал подать на высокодобротную колебательную систему (например,LС-контур), настроенную на частоту , то выходной эффект будет очень мал, стремясь к нулю при возрастании добротности. Колебания в системе, возбуждённые одним периодом биений, будут гаситься последующим периодом. Поэтому демодуляцию сигналов при БМ производят только путем синхронного детектирования.

Однополосная амплитудная модуляция. Ещё более интересное усовершенствование принципа обычной АМ заключается в формировании сигнала с подавленной верхней или нижней боковой полосой частот (ОБП).

Сигналы с одной боковой полосой (SSB - singl side band) по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, однотональный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде:

(2.36)

Два последних слагаемых представляют собой произведение двух функций, одна из которых изменяется во времени медленно, а другая – быстро.

Основное преимущество ОБП-сигналов – двукратное сокращение полосы занимаемых частот, что оказывается существенным для частотного уплотнения каналов связи.

Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется ещё более эффективно.

Амплитудно-манипулированные сигналы. Важным классом многотональных АМ-сигналов являются так называемые манипулированные сигналы. В простейшем случае это – последовательности радиоимпульсов, отделённых друг от друга паузами. Такие сигналы широко используются в технике связи. Если S(t) – функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо 1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

(2.37)

Пусть, например, функция S(t) отображает периодическую последовательность видеоимпульсов. Считая, что амплитуда этих импульсов A=1 при имеем

(2.38)

Где q - скважность последовательности (,– длительность одного импульса).

Спектр сигналов с угловой модуляцией

Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счёт того, что в несущем гармоническом колебании передаваемое сообщениеизменяет либо частоту, либо начальную фазу; амплитудаостаётся неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания, называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

Однотональные сигналы с угловой модуляцией. Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому мы будем рассматривать простейшие однотональные сигналы.

В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота:

,

где - девиация частоты сигнала.

Полная фаза такого сигнала

,

где – некоторый постоянный фазовый угол.

Величина

(2.39)

называется индексом однотональной угловой модуляции.

Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы , и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде:

(2.40)

Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала, кроме того при ФМ , а при ЧМ

Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции. Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда . Для этого преобразуем формулу (2.40) следующим образом:

(2.42)

Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией, содержатся несущие колебания и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах. Индексm играет здесь такую же роль как коэффициент М при АМ. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией.

Спектральная диаграмма сигнала с угловой модуляцией при .

Для спектральной диаграммы, построенной по формуле (2.42) характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180 градусов. При значениях m=0.5-1 появляется вторая пара гармонических колебаний с боковыми частотами , затем третья пара и так далее. Возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру.

С ростом m амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается.

Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса m. Для простейшего случая однотонального ЧМ- и ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции m.

Математическая модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:

(2.43)

(m) – функция Бесселя k- того порядка от аргумента m.

Спектр однотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны ; амплитуды этих составляющих пропорциональные значениям.

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой соотношением:

Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, еслиk- чётное число, и отличаются на 180 градусов, если k- нечётное. С ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами . Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией.

(2.44)

Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае

(2.45)

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Для передачи АМ-сигнала требуется полоса частот, равная , то есть вm раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обуславливает их гораздо более высокую помехоустойчивость по сравнению с АМ-сигналами.

Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в относительном масштабе).