V. Теорема о свёртке.
Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.
Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:
(2.11)
Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:
Теорема
о свёртке может быть обращена: если
спектральная плотность некоторого
сигнала представляется в виде произведения
,
причём
и
,
то сигнал
является свёрткой сигналов
и
,
но уже не в частотной, а во временной
области:
(2.12)
VI.Теорема Планшереля
Пусть
два сигнала
и
,
в общем случае комплексные, определены
своими обратными преобразованиями
Фурье:
(2.13)
Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.
4.. δ-функция и ее свойства.
Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и «в будущем».
Принцип динамического представления состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени.
Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени ∆
Дельта- функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:
где:
- функция включения:
При любом выборе параметра ξ площадь этого
υ
0 
где:
- функция включения: νξ
При любом выборе параметра ξ площадь этого
импульса равна единице: t
t
Н
апример,
если υ – напряжение, то
В·с.
Пусть теперь величина ξ стремится к нулю.
Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет
с
вою
площадь, поэтому его высота должна
δ (t-t0
)
неограниченно возрастать. Предел последовательности
таких
функций при 
носит название дельта-
функции
или функции Дирака : t
t0
Дельта-функция
интересный математический
Графическое
изобра-
объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением жение δ-функции
точки
(принято говорить, что она сосредото-
чена в этой точке), δ- функция тем не менее обладает единичным интегралом:
Спектральная плотность постоянного по времени сигнала
Спектральная
плотность комплексного экспоненциального
сигнала 
=2
Спектральная плотность гармонических колебаний:
,
,
Спектральная плотность произвольного периодического сигнала
Спектральная плотность функции включения
Спектральная плотность радиоимпульса
Применяя теорему о свертке и фильтрующее свойство δ-функции, получим:
