4.2. Постановка задачи статистической линеаризации
Наибольшее распространение в практике расчета нелинейных систем при случайных воздействиях получил метод статистической линеаризации. Его идея основана на приближенной замене нелинейных преобразований в системе статистически эквивалентными им линейными преобразованиями. При этом нелинейный элемент НЭ заменяется статистически эквивалентным линейным элементом ЭЛЭ. В результате система в целом линеаризуется и для ее исследования можно применять аппарат линейной теории.
Под статистической эквивалентностью следует понимать соответствие эквивалентного элемента одному из двух критериев:
1) равенство математических ожиданий и дисперсий случайных процессов на выходе НЭ и ЭЛЭ (см. рис. 4.4)
M[у] =M[u],D[y] = D[u]; (4.3)
2) минимальное значение математического ожидания квадрата разности случайных сигналов на выходе НЭ и ЭЛЭ
(4.4)
Рис. 4.4. К понятию эквивалентного линейного элемента
Как уже говорилось, сигналы на входе и выходе нелинейного элемента представляют собой сумму математического ожидания (отражающего медленно меняющееся регулярное состояние) и центрированной случайной составляющей
,
.
В общем случае сигнал на выходе эквивалентного линеаризованного элемента можно представить в виде
,
(4.5)
где
– математическое ожидание нелинейной
функции(x);
– эквивалентный статистический
коэффициент усиления по случайной
центрированной составляющей.
Таким образом, нелинейный безынерционный элемент заменяют безынерционным элементом нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей (рис. 4.5).
|
|
Рис. 4.5. Модель ЭЛЭ
Если НЭ имеет нечетную характеристику (рис. 4.6, а), функция 0может быть представлена в виде
,
где kC0 – эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по математическому ожиданию (по средней составляющей).
|
а) |
б) |
Рис. 4.6. Нечетная (а) и четная (б) характеристики НЭ
Коэффициенты kC0 и kC1 называются коэффициентами статистической линеаризации, соответственно, для математического ожидания и для центрированной случайной составляющей (см. рис. 4.7). Эти коэффициенты однозначно определяются статической характеристикой нелинейного звена и законом распределения входной величины.
Рис. 4.7. К определению погрешности статистической линеаризации
При использовании первого критерия (4.3) для получения ЭЛЭ методом статистической линеаризации делается допущение, что сигнал на входе НЭ имеет нормальное распределение и вид этого распределения не искажается нелинейным элементом. Т. е. действительное распределение выходного сигнала заменяется нормальным с сохранением прежнего среднего значения и прежней дисперсии.
Если уравнение эквивалентного линейного звена определяется, исходя из второго критерия (4.4), то значение kC0совпадает со значениемkC0, полученным по первому критерию, а выражение дляkC1получается более простым. Поэтому для получения ЭЛЭ второй критерий более предпочтителен. Погрешности же в обоих случаях получаются примерно одинаковыми по величине.
Иногда значение коэффициента статистической линеаризации kC1 определяют путем усреднения коэффициентов, полученных по первому kC1[1] и по второму kC1[2] критерию.
.
Значения коэффициентов статистической линеаризации приведены в литературе по ТАУ [2].