Фово Лекции

ления для границы раздела воздух-сердцевина волокна (точка А):

Величину sin Ωm называют числовой апертурой волокна. Чи-

словая апертура имеет обозначение NA. Таким образом, числовая апертура равна

Числовая апертура волокна определяет максимальный угол ввода в волокно луча, который будет испытывать полное отражение и распространяться в волокне.

Если условие (7.6) полного отражения не выполняется, то будут распространяться лучи с утечкой или преломленные лучи. Более подробную информацию об этих лучах можно найти в книге [2].

8.3. Градиентное волокно. Числовая апертура

Рассмотрим градиентное оптическое волокно (см. рис. 8.3). Его показатель преломления, в отличие от ступенчатого волокна, меняется при изменении r (см. 8.2):

n = n(r) , если r < a,

n = n 2 , если r ≥ a .

Аналогично ступенчатому волокну, можно найти максимальный угол вода излучения в волокно, только он будет зависеть от рас-

71

стояния r: Ω m = Ω m (r) . Величину sin Ω m (r) назовем локаль-

ной числовой апертурой волокна:

Любой луч, падающий на торец волокна на расстоянии r от оси и попадающий внутрь апертурного конуса с углом при вершине

Ωm (r) , испытывает после ввода полное отражение и рас-

пространяется в волокне. Локальная числовая апертура максимальна на оси волокна и падает до нуля на границе сердцевина и оболочки.

Числовой апертурой градиентного волокна будем называть максимальной значение локальной числовой апертуры.

Для градиентного волокна с квадратичным профилем показателя преломления (формула (5.8)) определяется эффективная числовая апертура, которая равна:

8.4. Мощность, вводимая в волокно

Покажем, что только часть света, излучаемая малоразмерным диффузным источником, помещенным на оптической оси волокна вблизи его торца, может быть введена в волокно.

Рассмотрим малоразмерный диффузный источник света, яркость которого одинакова во всех направлениях, изображенный на рисунке 8.8. Пусть I0 - мощность, излучаемая в единицу телес-

ного угла по нормали к источнику, I(θ) = I0 cos θ - мощность,

излучаемая под углом θ. Тогда мощность, излучаемая в малый телесный угол δΩ , равна

I0 cos θ δθ = I0 cos θ 2π sin θ δθ .

72

ломления.

Отсюда ясно, что для того чтобы ввести в волокно как можно больше света, необходимо обеспечить большие значения величин n1 и . Очевидно, что лучшее, что может быть сделано –

это использовать для изготовления волокна стекло с большим показателем преломления и не покрывать его оболочкой. Однако при этом наряду с увеличением мощности, вводимой в волокно, возникают две проблемы:

1.Часть волны даже при полном внутреннем отражении проникает наружу сквозь отражающую поверхность. А неизбежное наличие неровностей и неоднородностей на ней преобразует затухающую в воздухе волну в распространяющуюся, что приводит к большим потерям.

сия, что приводит к искажению сигнала.

8.5. Траектория световых лучей

а) Ступенчатое волокно.

Показатель преломления сердцевины ступенчатого волокна n1 есть постоянная величина. Угол θ, под которым луч распро-

страняется в волокне, является постоянным. Луч распространяется, испытывая полное отражение на границе раздела сердце- вина-оболочка. Между двумя последовательными полными отражениями траектория луча прямолинейная.

74

Выводы

Рассмотрены типы оптических волокон. На основе закона преломления ведено понятие числовой апертуры. Показано, что мощность, вводимая в волокно, зависит от величины числовой апертуры. Для случаев, допускающих лучевую трактовку, рассмотрен ход лучей в оптических волокнах.

Вопросы и задачи

8.1.Что такое сердцевина оптического волокна? Оболочка? Какие преимущества дает покрытие волокон оболочкой?

8.2.Какие волокна называются ступенчатыми? Градиентными?

8.3.Какой показатель преломления больше: сердцевины или оболочки? Почему?

8.4.Что такое числовая апертура для ступенчатого волокна? Выведите формулу для ее расчета.

8.5.Как определяется числовая апертура для градиентного волокна? Что такое локальная числовая апертура?

8.6.От чего зависит мощность излучения, вводимая в волокно? Как можно увеличить эту мощность? Почему такое увеличение мощности нецелесообразно?

8.7.Опишите вид траектории при распространении лучей в ступенчатом волокне и в градиентном волокне (для случая, когда применима лучевая трактовка).

8.8.К чему приводит увеличение разности показателей прелом-

ления n1 − n 2 ? Почему изготавливают волокна с очень малыми значениями разности показателей преломления n1 − n 2 ? (Указание: более подробное рассмотрение во-

проса будет дано в лекции № 10 при изучении межмодовой дисперсии).

8.9. Вычислите значения числовой апертуры NA и максимального угла ввода излучения в волокно Ω m для ступенчатого волокна с параметрами а) n1 = 1,483 , n 2 = 1,479 ; б) n1 = 1,483 , n 2 = 1,460 .

76

ЛЕКЦИЯ 9 Решения уравнений Максвелла для оптического во-

локна. Число мод в оптическом волокне. 9.1. Моды распространения в оптическом волокне.

Формулы для полей

В случае световых лучей, распространяющихся в идеальном волокне, потери отсутствуют. Мы установили условия ввода, нашли постоянную распространения, рассмотрели траекторию лучей в ступенчатом и градиентном волокне. Однако необходимо помнить, что в реальном волокне наряду с волной, распространяющейся в сердцевине, существует волна, распространяющаяся в оболочке, причем это волна той же фазы. Если меняются условия распространения в оболочке, то меняется распространение света и в сердцевине. Например, если у двух сред разный коэффициент поглощения (а на практике так обычно и бывает), то в одной из них волна будет затухать быстрее, и распространение будет нарушено! Даже при одинаковом поглощении чисто геометрическая оптика не позволяет оценивать потери, обусловленные лучами утечки, для этого необходимо знать выражение для полей в сердцевине и в оболочке. Таким образом, в некоторых случаях нужно рассчитывать электромагнитное поле в волокне.

Запишем волновое уравнение в комплексной форме для изотропной среды, в которой отсутствуют токи и заряды:

2E + k 2E = 0,

(9.1)

2 H + k 2 H = 0 .

По-прежнему, мы рассматриваем распространение волны в во будут присутствовать продольные компоненты полей Ez и Hz ,

то есть в волокне будут распространяться гибридные волны. Используем цилиндрическую систему координат. Из уравнений (9.1) получится шесть скалярных уравнений. Будем искать решение этой системы уравнений в виде гармонических функций переменной z. Зависимость от времени по-прежнему останется

экспоненциальной: ei ωt . Итак, решение волнового уравнения ищем в виде произведения:

77

где β - постоянная распространения (продольное волновое чис-

ло), r, ϕ и z - цилиндрические координаты. В аналогичной форме ищем решение и для Н.

Решение уравнений (9.1) является достаточно сложным. Поэтому мы приведем результат решения без вывода. Более подробное описание можно найти в [1] и [2]. Читатель, не желающий вникать в подробности вывода, может сразу перейти к разделу "Решение волнового уравнения для ступенчатого волокна".

Итак, подставляя (9.2) в (9.1) и разделяя переменные, получаем отдельные уравнения для радиальной составляющей ψ1 (r) и для азимутальной составляющей ψ2 (ϕ) :

Здесь ν - некоторая константа, которая определяется начальными условиями падения луча на оптоволокно:

где Ω-угол, под которым свет падает на торец оптоволокна, r0 - расстояние от оси волокна до точки падения луча

на торец, ϕ0 - угол между радиус-вектором, проведенным

от центра волокна к точке падения луча на торец, и следом плоскости падения.

Решения ищем для компонент полей Ez и Hz , а ос-

тальные компоненты выражаем через них, используя соотношения

78

Решения волновых уравнений должны удовлетворять граничным условиям. Накладываемое волокном граничное условие следует из закона изменения показателя преломления n(r) . Решения также подчиняются требованиям,

чтобы поля были конечными на оси волокна и обращались в нуль на бесконечности. Эти условия обусловливают решения в собственных значениях для ψ(r, ϕ) , каждое из ко-

торых имеет конкретное значение постоянной распространения β. Это приводит к дискретным картинам рас-

пространяющихся в волокне электромагнитных волн или мод.

Решение волнового уравнения для ступенчатого волокна

Рассмотрим ступенчатое волокно. Показатель преломления меняется по следующему закону

n = n1 , если r < a,n = n 2 , если r ≥ a .

Решения уравнений (9.1) для сердцевины записываются через хорошо известные функции Бесселя:

а - радиус сердцевины. Решения для оболочки:

79

Постоянные А, В, С, D находятся из граничных условий. Граничные условия, накладываемые на компоненты Ez , Eϕ, Hz ,

Hϕ на границе раздела сердцевина-оболочка, приводят к тому,

что для каждого значения параметра ν существует только определенный дискретный набор значений u и w. Обозначим их u km и w km . k и m являются целыми числами. Соответственно постоянная распространения β также принимает только дискрет-

ные значения. Таким образом, решения (9.6) и (9.7) для ступенчатого волокна представляют собой моды, зависящие от номеров k и m.

80