Фово Лекции
.pdfЛЕКЦИЯ 6 Распространение волн в направляющих структурах.
6.1. Волны в неоднородной среде. Классификация волн
В следующих лекциях мы будем рассматривать волны, распространяющиеся в неоднородной среде, например волны, распространяющиеся вдоль идеально проводящей плоскости или волны вдоль границы раздела двух диэлектриков. Выберем направление оси Oz вдоль границы раздела и будем рассматривать распространение неоднородных волн вдоль оси Oz. Неоднородные волны в отличие от однородных волн имеют не только поперечные, но и продольные компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного поля Е и Н. Мы будем различать следующие типы волн:
1. Н - волна. Имеет продольную магнитную компоненту Hz .
(Другое название: ТЕ - волна или поперечная электрическая волна, то есть волна, у которой отсутствует продольная компонента вектора Е.)
2. Е - волна. Имеет продольную электрическую компоненту Ez . (Другое название: ТМ - волна или поперечная магнит-
ная волна, то есть волна, у которой отсутствует продольная компонента вектора Н.)
3.Гибридная волна. Представляет собой линейную комбинацию Н-волны и Е - волны. В зависимости от того, какая продольная компонента преобладает, обозначается как НЕвол- на или ЕНволна.
Следует добавить, что в рамках данной классификации волна, распространяющаяся в однородном пространстве и не имеющая продольных компонент электрического и магнитного поля, называется поперечной волной или ТЕМ - волной.
Можно показать, что при распространении неоднородных волн вдоль границы раздела различных сред система уравнений Максвелла (1.12 - 1.13) разделяется на две независимые системы из трех уравнений, каждая из которых содержит компоненты только Н-волны или Е-волны. Поэтому мы будем рассматривать отдельно распространение Н- и Е-волн, то есть волн перпенди-
51
кулярной и параллельной поляризации. Также будем использо-
вать принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Он заключается в следующем: если рассматривать уравнения Максвелла в комплексной форме (1.17) и (1.18) при отсутствии сторонних токов, то замена
εε 0 → μμ 0 , μμ 0 → εε 0 , E → −H , H → E |
(6.1) |
сохраняет эту систему уравнений, причем первое уравнение переходит во второе, а второе - в первое. В результате использования этого принципа можно находить коэффициенты отражения и прохождения для магнитных полей, зная соответствующие коэффициенты для электрических полей, а также можно находить выражения для Е-волны, зная выражения для Н-волны, наоборот.
6.2. Плоский металлический волновод
Рассмотрим в простейшем случае двумерную систему. Пусть волна распространяется в направлении оси Oz между двумя бесконечными идеально проводящими плоскостями, параллельными друг другу и оси Oz. Между этими плоскостями образуется изолированный слой, в котором может распространяться Н- или Е-волна. Это и есть плоский металлический волновод (см. рис. 6.1). В реальности световоды имеют круглое сечение. Данный пример мы рассмотрим для того, чтобы уяснить физические принципы распространения волн в световодах.
Металлический световод пред-
xставлен на рис. 6.1. Он образован двумя проводящими плоскостями
a |
k |
x = a и x = −a . Заполняющая его |
|
|
θ |
среда - вакуум. Выше отмечено, |
|
-a |
вакуум |
z что Н- и Е-волны можно рассмат- |
|
ривать раздельно. Выберем для |
|||
|
|||
|
|
рассмотрения Н-волну, имеющую |
|
|
Рис. 6.1. |
компоненты Hz , E x , E y . |
Исследуем плоскую монохроматическую волну с длиной волны λ. Волновой вектор k лежит
52
в плоскости xOz под углом θ к оси Oz. Зависимость от коорди-
наты y отсутствует: ∂∂y = 0 . Вектор напряженности электриче-
ского поля будем считать параллельным оси Oy:
E y = E0 ei (ω t −k z cos θ −k x sin θ) . |
(6.2) |
Врезультате отражения от верхней плоскости появляется волна
скомплексной амплитудой rE y , где r- коэффициент отражения:
E y отр = r E0 ei (ω t −k z cos θ +k x sin θ) . |
(6.3) |
Коэффициент отражения r найдем из граничного условия |
|
E y = 0 при x = a . |
(6.4) |
e−i ka sin θ + r ei ka sin θ = 0 , |
|
r = − e−2i ka sin θ . |
(6.5) |
Знак минус перед экспонентой показывает, что фаза отраженной волны меняется на π. В результате интерференции прямой и от-
раженной волн образуется полное поле, определяемое выраже- |
|||
нием: |
|
||
Eполн = E0 ei (ω t −k z cosθ ) (e −i k x sin θ − e −i k( x−2a)sin θ ). (6.6) |
|||
Должно выполняться также граничное условие |
|
||
E y = 0 при x = −a . |
(6.7) |
||
ei k a sin θ − e−2i k a sin θ e−i k a sin θ = 0 , |
|
||
e−4ik a sin θ = 1 , |
|
||
4ika sin θ = 2π m , |
|
||
k sin θ = |
π m |
, |
(6.8) |
|
|||
|
2 a |
|
|
где m=1, 2, 3 … (тривиальный случай m=0 не удовлетворяет условиям задачи).
Введем понятия:
χ = k sin θ - поперечное волновое число, (6.9) β = k cos θ - продольное волновое число
или постоянная распространения. |
(6.10) |
Тогда:
53
χ 2 + β2 = k 2 . |
(6.11) |
Из (6.8) следует, что поперечное волновое число может принимать только дискретные значения, при которых может распространяться волна в световоде:
|
|
χ = |
π m |
, |
m=1, 2, 3 … |
(6.12) |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 a |
|
|
|
|||
Выразим продольное волновое число β из (6.11): |
|
|||||||||
|
β = |
k 2 − χ 2 |
= k 2 − π2 m2 . |
(6.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 a 2 |
|
|
С учетом k = ω |
εμ получим: |
|
|
|
||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = k |
1 − |
π 2 m2 |
= k |
1 − |
π 2 m2c2 |
или |
||||
4 a |
2 k 2 |
4 a 2ω2εμ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
β = k 1 − |
ωкр2 |
, |
(6.14) |
|||||
|
|
ω2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ωкр - критическая частота для волны с номером m, |
||||||||||
|
|
ωкр = |
π m c |
. |
(6.15) |
|||||
|
|
2 a |
εμ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Распространение волны вдоль оси Oz описывается множителем
e−ik z cosθ = e−iβ .
При выполнении условия ω > ωкр продольное волновое
число β является действительным, что соответствует распространяющейся волне. При ω < ωкр продольное волновое число β
ω2
является чисто мнимым: β = ±ik кр −1 . Этот случай соответ-
ω2
ствует затухающей волне.
Таким образом, в плоском металлическом световоде существует бесконечная последовательность решений, зависящих от
54
номера m. Каждое такое решение называется модой распространения. При этом m - номер моды.
Рассмотрим полное поле в световоде:
Eполн = E0 ei(ω t−k zcosθ) (e−i k x sin θ − e−i k( x−2a)sin θ )= |
|
= E0 ei(ω t−β z) (e−iχ x − e−i( x−2a)χ )= |
(6.16) |
= E0 ei(ω t−β z) (e−i(π m / 2a) x − (−1)m ei(π m / 2a) x ).
Или:
Eполн = −2i E0 |
ei(ω t−β z) sin( π m x) , если m − четное, |
|
||
|
|
2a |
(6.17) |
|
Eполн = 2 E0 ei(ω t−β z) cos( |
π m |
|
||
x) , если m − нечетное. |
|
|||
|
|
|||
|
|
2a |
|
|
Таким образом, в световоде вдоль оси Oz распространяется бегущая волна, а вдоль оси Ox - стоячая волна. При этом соотношение (6.14) можно рассматривать как дисперсионное уравнение:
β 2 = k 2 − π 2 m2 . |
|
(6.18) |
||
|
4 a 2 |
|
|
|
Найдем угол θ, под которым распространяется волна на за- |
||||
данной частоте. Из (6.8) получаем: |
|
|
|
|
sin θ = π m = |
π m c |
, |
или |
|
2a k |
2a εμ ω |
|
|
|
sin θ = |
ωкр |
. |
|
(6.19) |
ω |
|
|||
|
|
|
|
|
Так как критические частоты ωкр для мод с различными номе-
рами разные (6.15), то и углы, под которыми распространяются различные моды на одной и той же частоте, будут разными. Из формулы (6.19) видно, что с увеличением частоты наклон волн уменьшается. В пределе, когда частота ω очень велика или когда длина волны мала, получается волна, распространяющаяся под углом θ ≈ 0 , то есть практически вдоль оси Oz. Так и должно быть, поскольку отражающие стенки световода в данном
55
случае находятся очень далеко друг от друга, если расстояние измерять в длинах волн, следовательно, влиянием стенок можно пренебречь.
При частотах, равных критическим ωкр1 , ωкр2 , ωкр3 ,… ,
появляется дополнительная мода. На частотах, равным критическим, угол θ = π / 2 , то есть волна является поперечной, и распространения нет.
Фазовая скорость волны в металлическом световоде:
vф = ω = |
ω |
= |
ω |
|
2 |
|
= |
|
ω |
|
2 |
|
= |
с |
.(6.20) |
|
β |
k cosθ |
k 1 |
− sin |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
k |
1− |
ωкр |
|
n 1 |
− |
ωкр |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
ω2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Критическая частота |
ωкр |
зависит от номера моды m, значит, |
||||||||||||||
фазовая скорость тоже зависит от номера моды. |
|
|
|
|||||||||||||
Групповая скорость: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
vгр |
= |
d ω |
= |
c |
1 − |
ωкр2 |
. |
|
(6.21) |
|||||
|
|
d β |
n |
ω2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Мы видим, что фазовая скорость может превышать скорость света с, групповая же скорость всегда меньше с (см. рис. 6.2).
v |
m=1 |
m=2 |
|
|
vф vф
c
vгр vгр
ωкр1 ωкр2 ω
Рис. 6.2. Зависимость фазовой и групповой скорости от частоты для мод с различными номерами.
56
Выводы
Приведена классификация волн, распространяющихся в неоднородных средах. Рассмотрено распространение световых волн в идеальном плоском металлическом световоде. Решение задачи на распространение световых волн в рассмотренной идеализированной модели позволяет подробно проследить возникновение модовых решений, рассчитать критическую частоту, вычислить фазовую и групповую скорость. Простой и наглядный расчет параметров волн в плоском металлическом световоде поможет в дальнейшем понять особенности распространения волн в оптических волокнах.
Вопросы и задачи
6.1.В чем заключается принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла?
6.2.Что такое поперечное и продольное волновое число для плоского металлического световода? Какие значения может принимать поперечное волновое число?
6.3.Как зависит продольное волновое число (или постоянная распространения) β от частоты? При каком условии волна
может распространяться? При каком условии волна затухает?
6.4.Что такое критическая частота?
6.5.Что такое мода?
6.6.Как определяется угол, под которым распространяется волна на заданной частоте? От чего зависит этот угол?
6.7.Чем отличаются друг от друга различные моды, распространяющиеся в плоском металлическом световоде на заданной частоте?
6.8.Найдите угол, под которым распространяется в плоском металлическом световоде мода с номером 2.
6.9.Как меняется угол, под которым распространяется волна, при увеличении частоты?
6.10.Дайте определение фазовой и групповой скорости (см. лекцию № 2). Чему равны эти скорости в плоском металлическом световоде?
57
ЛЕКЦИЯ 7 Плоский диэлектрический волновод
7.1. Поведение мод при изменении частоты
Мы знаем, что в плоском металлическом световоде существует бесконечное множество решений уравнений Максвелла, зависящих от номера m. Каждое такое решение называется модой. Каждой моде соответствует распространяющаяся волна. Какая же мода будет распространяться в световоде на заданной частоте? На каждой частоте может распространяться определенное число мод, для которых ω > ωкр . Общее решение урав-
нений Максвелла будет линейной комбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими в основном от условий на концах световода, где подсоединяются излучатель и приемник излучения.
При выполнении условия
ωкр1 ≤ ω < ω кр2
мы имеем одну моду распространения (одномодовый режим) (см. рис. 6.2). При более высоких частотах одновременно распространяется сразу несколько мод. Каждая мода имеет свою фазовую и групповую скорость, то есть является дисперсной. При распространении различные моды взаимодействуют друг с другом, что в конечном итоге приводит к искажению сигнала. Поэтому теоретически выгодно работать как можно ближе к одномодовому режиму при сравнительно низких частотах.
7.2. Плоский диэлектрический волновод
Рассмотрим диэлектрический световод в виде диэлектрической полосы толщиной 2а с диэлектрической проницаемостью ε1 и показателем преломления n1 , заключенной между двумя
диэлектрическими полупространствами с с диэлектрической проницаемостью ε 2 и показателем преломления n 2 . Будем следовать логике изложения, представленной в книге [2]. Пусть
58
ε 1 > ε 2 , то есть n1 > n 2 . Это необходимо для того, чтобы в
рассматриваемом световоде могло выполняться условие полного отражения.
х |
|
|
|
|
Среда 2 |
n2 |
|
ψ |
k2 |
|
θ2 |
|||
|
|
|
||
Среда 1 |
k |
1 |
ϕ |
|
|
|
|
||
2а |
θ |
|
z |
|
n1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Среда 2 |
n2 |
|
Рис. 7.1. Одномерный диэлектрический световод.
По-прежнему, рассмотрим Н-волну, имеющую компоненты Hz , E x , E y . Это волна перпендикулярной поляризации. Волно-
вой вектор k волны лежит в плоскости xOz под углом θ к оси
Oz. Зависимость от координаты y отсутствует: ∂∂y = 0 . По
прежнему, продольное волновое число (постоянная |
распро- |
странения) в первой среде: |
|
β = k1 cos θ , |
(7.1) |
поперечное волновое число в первой среде: |
|
χ = k1 sin θ . |
(7.2) |
На границе со средой 2 волна преломляется, при этом тангенциальная компонента волнового вектора остается постоянной, а нормальная меняется:
k 2 cos θ2 = k1 cos θ = β . |
(7.3) |
59
Здесь k2 cosθ2 - поперечное волновое число в среде 2.
Нам необходимо добиться случая полного внутреннего отражения, так как только в этом случае волна будет оставаться внутри световода. Для этого должно выполняться следующее условие для угла ϕ, который является углом падения на границу раздела среды 1 и 2 (см. рис. 7.1):
ϕ > ϕкр , |
(7.4) |
где ϕкр - угол полного отражения. Он находится из условия ра-
венства 90o угла преломления ψ:
sin ϕ |
= |
n 2 |
, sin ψ = sin 90 |
o |
= 1, |
sin ϕкр = |
n 2 |
. |
(7.5) |
sin ψ |
n1 |
|
n1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Полное отражение может наблюдаться только при n1 > n 2 . Если
рассмотреть связь углов: ϕ = 90o − θ , можно записать эквива-
лентное (7.4) условие, при котором наблюдается полное отражение:
θ < θкр , где cos θкр = n 2 / n1 . |
(7.6) |
Что же происходит при углах падения, больших ϕкр ? При |
|
таких углах падения sin ψ = n1 sin ϕ > 1 . Тогда cos ψ становится |
||||
n 2 |
|
|
|
|
мнимым: |
|
|
|
|
cos ψ = 1 − sin 2 ψ = 1 − n12 |
sin 2 |
ϕ = ± i |
n12 |
sin 2 ϕ − 1 . (7.7) |
n 22 |
|
|
n 22 |
|
Выберем знак "–" перед cos ψ , что соответствует отражению от
плоскости x = a , знак "+" соответствовал бы отражению от плоскости x = −a . Итак:
cosψ = − i n12 |
sin2 ϕ − 1 = − i |
n12 |
cos2 θ − 1 . |
n22 |
|
n22 |
|
Выразим k2 sin θ2 - поперечное волновое число во второй среде:
60