Фово Лекции

Преимущества от применения волоконно-оптических линий связи (ВОЛС) настолько значительны, что в настоящее время эти линии связи очень широко используются для передачи информации.

1.2. Уравнения Максвелла

Запишем систему уравнений Максвелла, которые включают в себя основание теории распространения электромагнитных волн и являются постулатами теории:

Здесь Е - вектор напряженности электрического поля, D - вектор электрической индукции, В - вектор магнитной индукции, Н - вектор напряженности магнитного поля, j - плотность тока проводимости, ρ - объемная плотность электрических зарядов. Формулы (1.1)-(1.4) выражают уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения Максвелла дополняются следующими уравнениями:

Здесь ε 0 - электрическая постоянная, μ 0 -магнитная постоянная,

ε -диэлектрическая проницаемость среды, μ - магнитная проницаемость среды, σ - удельная проводимость, jст - плотность сторонних токов. (В такой записи сторонние токи считаются заданными. Они возбуждают поля, но не порождаются рассматриваемыми электромагнитными полями). Формула (1.7) является дифференциальной формой записи закона Ома.

11

Значение уравнений Максвелла как оснований теории электромагнетизма чрезвычайно велико. Для инженера в первую очередь важно, что уравнения Максвелла дают возможность исследовать любые электромагнитные процессы.

1.3. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Рассмотрим поля, меняющиеся по гармоническому закону:

E = E0 cos(ωt − kr) , (1.8) H = H0 cos(ωt − kr).

Здесь Е -напряженность электрического поля, Н- напряженность магнитного поля, k - волновой вектор, r - радиус-вектор рассматриваемой точки.

Используем метод комплексных амплитуд. В рамках этого метода векторам Е и Н приведем в соответствие комплексные

числаE& и H& . При этом

H& = H& m ei ω t .

Значения реальных векторов Е и Н находятся как действительные части соответствующего комплексного вектора:

H = Re{H& m ei ω t } .

Величины E& m и H& m называются комплексными ампли-

тудами векторов Е и Н. Комплексные амплитуды зависят только от пространственных координат и не зависят от времени:

Для обозначения комплексной амплитуды будем ставить точку вверху и нижний индекс m.

Пример. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси Oz. Поставим в соответствие этой волне

комплексную амплитуду E& m (z) = E0 e−ikz . Для перехода

12

к реальному вектору Е найдем действительную часть от соответствующего комплексного вектора:

E = Re{E0 e−ikz eiωt }= Re{E0 ei(ωt−kz) }=

=Re{E0 cos(ωt − kz) − i sin(ωt − kz)}= E0 cos(ωt − kz) .

Врезультате получилось хорошо известное уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси Oz.

Вметоде комплексных амплитуд операции дифференцирования по времени соответствует умножению на iω:

Подставим комплексные представления (1.9) в уравнения Максвелла. С учетом (1.11) уравнения Максвелла (1.1-1.2) можно записать в комплексной форме:

где E& m , B& m , H& m , D& m , jm - комплексные амплитуды соответст-

вующих векторов. Решение уравнений Максвелла в комплексной форме зачастую является более простым, так как в записи уравнений отсутствуют производные по времени. Для перехода к наблюдаемым векторам Е и Н достаточно найти действительную часть соответствующего комплексного вектора.

Примечание. Комплексные амплитуды можно ввести и другим способом, сопоставляя векторам Е и Н комплексные числа

H& = H& m e−i ω t .

Тогда в уравнениях Максвелла в комплексной форме изменятся знаки перед множителем iω.

13

1.4. Комплексная диэлектрическая проницаемость

Преобразуем правую часть уравнения (1.13). Подставим вместо плотности тока jm закон Ома в виде (1.7), заменяя векто-

ры Е и j комплексными амплитудами E& m и jm:

Здесь введено новое обозначение:

ε& - комплексная диэлектрическая проницаемость.

или

ε&= ε′ − ε′′ ,

где ε′ и ε′′ - действительная и мнимая часть комплексной ди-

электрической проницаемости соответственно.

С учетом введенной комплексной диэлектрической проницаемости (1.15) и с учетом связи векторов В и Н запишем уравнения Максвелла (1.12) и (1.13) в следующем виде:

Мы видим, что комплексная диэлектрическая проницаемость позволяет учесть зависимость электродинамических свойств среды от частоты, то есть ее дисперсию. Одновременно введение ε& учитывает запаздывание вектора D относительно вектора Е в высокочастотных электромагнитных полях.

В общем случае наличие мнимой части у диэлектрической проницаемости говорит о наличии затухания в среде.

Действительно, через диэлектрическую проницаемость ε выражается волновой вектор k. Напомним: волновой вектор k определяет направление распространения плоской монохрома-

14

тической волны. Модуль волнового вектора k называется вол-

новым числом

где λ - длина волны. Волновое число можно выразить также через фазовую скорость волны:

Скорость распространения волны в среде находится следующим образом:

где с - скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды.

где ε и μ - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Таким образом, если ε является комплексной, то и волновое число k тоже будет комплексным:

Наличие мнимой части k′′ говорит о затухании волны в среде.

Действительная часть k' определяет фазовую скорость электромагнитной волны

Пример. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Oz. Запишем уравнение волны в комплексной форме:

E& = E0 ei(ωt−kz) .

Учтем наличие у волнового вектора k действительной и мнимой части, подставив выражение (1.23):

15

Множитель e−i k′′z показывает, что волна экспоненциально затухает с увеличением координаты z. Поэтому мнимую часть k′′ иногда называют коэффициентом затухания.

Выводы

Применение уравнений Максвелла в комплексной форме во многих случаях позволяют облегчить их решение за счет упрощения операции дифференцирования по времени и по пространственным координатам. Введение комплексного волнового числа и комплексной диэлектрической проницаемости позволяют учесть наличие потерь в среде.

Вопросы и задачи

1.1.Запишите уравнения (1.3) и (1.4) в комплексной форме. В чем преимущество метода комплексных амплитуд?

1.2.Что такое волновой вектор?

1.3.Какие свойства среды позволяет учесть введение комплекс-

ной диэлектрической проницаемости?

1.3.Объясните, что определяют действительная и мнимая часть волнового числа?

1.4.Выберите зависимость от времени в плоской волне в виде

e−iωt . Запишите уравнения Максвелла (1.1 - 1.2) в комплексной форме для данной временной зависимости. (Указание: сопоставьте векторам Е и Н комплексные числа

E& = E& m e−i ω t , H& = H& m e−i ω t ).

1.5. Найти параметры k' и k'' плоской однородной волны, распространяющейся в плавленом кварце на частоте 108 Гц

( ε = 3,8 , σ = 10−16 C / мм).

ПРИМЕЧАНИЕ: в конце конспекта лекций приведены ответы на некоторые вопросы, а также ответы ко всем задачам. Некоторые задачи снабжены подробным решением.

16

ЛЕКЦИЯ 2 Волновые уравнения в комплексной форме. фазовая и

групповая скорость 2.1. Волновые уравнения в комплексной форме

Рассмотрим волновые уравнения, являющиеся прямым следствием уравнений Максвелла:

Решением уравнений (2.1) является плоская электромагнитная волна:

где k - волновой вектор.

Запишем уравнения (1.21) в комплексной форме. При этом вместо векторов Е и Н будут присутствовать их комплексные

С учетом (1.23) волновые уравнения запишем в следующем ви-

17

2.2. Волновое сопротивление

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси Z. Параметры волны зависят только от координаты z и не зави-

иметь следующий вид: 2 = ∂ 2 / ∂z2 . Тогда уравнения (2.4) упрощаются:

Общее решение дифференциальных уравнений (2.5) ищем в виде суммы двух волн:

распространяется в положительном направлении оси Oz, волна

- в противоположном направлении. (То же справедливо для волн

ном направлении оси Oz. Распишем операцию взятия ротора в

18

Здесь k, стоящее в верхней строчке определителя, является ортом (единичным вектором) оси Oz, а k, находящееся перед определителем, есть волновое число. Чтобы избежать путаницы, ниже будем обозначать орт оси Oz символом z0.

Преобразуем

19

Аналогично, используя волновое сопротивление, можно выра-

Для волн, распространяющихся в направлении, противоположном оси Oz, справедливы следующие соотношения:

Таким образом, волновое сопротивление можно записать как отношение амплитуд напряженности электрического и магнитного поля:

2.3. Групповая скорость

Дисперсия - зависимость диэлектрической проницаемости среды ε (а, следовательно, и показателя преломления n) от частоты волны. Введение комплексной диэлектрической проницае-

присущей среде электропроводности. Существование дисперсии необходимо учитывать, оценивая распространение электромагнитных сигналов, переносящих информацию. Плоская электромагнитная волна, не ограниченная во времени, не может быть сигналом. Любой сигнал имеет начало и конец, то есть представляет собой импульс, обладающий некоторым спектром частот. В результате дисперсии различные частотные составляющие импульса распространяются с разными фазовыми скоростями, что приводит к искажению сигнала.

Воспользуемся для случая произвольной временной зависимости разложением в интеграл Фурье:

∞

−∞

20