Фово Лекции

Запишем разложение в интеграл Фурье для напряженности электрического поля сигнала, распространяющегося вдоль оси

Oz:

+∞ +∞

E(z, t) = ∫E(ω) ei(ω t−k z) dω = Re ∫E(ω) ei(ω t−k z) dω . (2.21)

Из-за дисперсии каждая компонента разложения распространяется со своей фазовой скоростью v. Пусть сигнал имеет ограниченный спектр, заключенный в полосе частот (ω0-∆ω; ω0+∆ω). Тогда

Физический смысл (2.22): любой сигнал можно представить в виде суммы монохроматических волн, частоты которых лежат в диапазоне (ω0-∆ω; ω0+∆ω).

Сделаем замену переменных ω → κ :

Будем считать, что сигнал достаточно узкополосный, то есть имеет узкий спектр. Разложим частоту ω в ряд Тейлора в окрестностях k0 и ограничимся первыми двумя членами разложения:

Рассматриваемый сигнал с узким спектром частот и слабой дисперсией называется группой волн.

Подставим (2.24) в (2.23):

21

Обозначим:

При этом S(z,t) является медленно меняющейся амплитудой сигнала (огибающей сигнала), а множитель ei (ω0t−k0z) выпол-

няет роль высокочастотного заполнения.

Рассмотрим огибающую сигнала S(z,t). Проинтегрировав (2 26) и перейдя к вещественной функции, можно записать S(z,t) в следующем виде:

Мы видим, что огибающая сигнала S(z,t) меняется по гармоническому закону, то есть оказывается модулированной.

Зафиксируем какую-либо фазовую поверхность огибающей:

Во всех случаях, когда дисперсия еще не приводит к существен-

ному искажению сигнала, групповая скорость есть скорость

переноса сигнала.

22

Фазовая скорость – это скорость распространения поверхностей с одинаковой фазой. Фазовая скорость соответствует скорости распространения отдельных гармоник, т.е. монохроматических волн из которых состоит сигнал.

S(z,t)- огибающая

Волны с частотами

(высокочастотноеω- ω; ω + ω) заполнение

0 0

высокочастотное заполнение)

Рис. 2.1. Распространение сигнала с огибающей S(z,t) и высокочастотным заполнением ei (ω0t−k0z) .

Преобразуем выражение для групповой скорости:

Из (2.32) видно, что в зависимости от знака dvф / dk групповая

скорость может быть как больше, так и меньше фазовой. Однако групповая скорость не может превышать скорость света.

Выводы

Волновое сопротивление - это отношение амплитуд напряженности электрического и магнитного поля. Понятие волнового сопротивления используется при решении задач распространения электромагнитных волн.

23

Групповая скорость - скорость движения огибающей группы волн, образующей в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Групповая скорость определяет скорость и направление переноса энергии волнами. Фазовая скорость - это скорость перемещения фазы волны в определенном направлении. Если среда не обладает дисперсией, групповая скорость совпадает с фазовой скоростью.

Вопросы и задачи

2.1.Как записывается оператор Лапласа 2 в декартовой системе координат? (см. Глоссарий)

2.2.Что такое волновое сопротивление?

2.3.Чему равно волновое сопротивление вакуума?

2.4.Что такое дисперсия? (имеется в виду дисперсия материала).

2.5.Что такое группа волн?

2.6.Дайте определения фазовой и групповой скорости.

2.7.Может ли фазовая скорость превышать скорость света в среде? А групповая скорость?

2.8. Фазовая скорость волны изменяется по закону

скорость волны.

ЛЕКЦИЯ 3 Отражение и прохождение света через границу раздела

двух сред

3.1.Законы отражения и преломления

Вданном разделе мы будем пользоваться понятиями геометрической оптики. Для описания распространения света геометрическая оптика оперирует понятием луча. В случае однородной изотропной среды луч есть прямая, указывающая направление распространения света. С точки зрения распространения плоской однородной волны, луч является нормалью к волновой поверхности.

24

Из геометрической оптики известны законы отражения и преломления света (или закон Снеллиуса). С точки зрения электродинамики они являются следствиями уравнений Максвелла.

Закон отражения све-

та.

Закон преломления света.

Преломленный луч лежит в плоскости падения. Причем отношение синуса угла па-

дения ϕ (рис. 3.2) к синусу угла преломления ψ подчинено соотношению:

25

3.2. Нормальное падение на границу раздела

Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны на границу раздела двух сред. Начнем с частного случая, когда падающая волна распространяется по нормали к границе раздела. Направления распространения отраженной и прошедшей волн коллинеарны. Необходимо найти решение уравнений Максвелла для каждой среды, удовлетворяющие граничным условиям. Пусть в первой среде распространяется так называемая падающая волна (она распространяется к границе раздела), отраженная волна (распространяется от границы). Во второй среде существует прошедшая волна (она уходит от границы). Тогда

Eпад, Hпад - напряженность электрического и магнитного поля в

падающей волне,

Eотр, Hотр - в отраженной волне,

Eпрош, Hпрош - в прошедшей волне.

Определим коэффициент отражения r и коэффициент прохождения t по амплитуде:

Это отношения комплексных амплитуд вектора Е на границе раздела. Здесь и в дальнейшем мы будем опускать точку вверху и нижний индекс m для указания комплексной амплитуды.

Волновое сопротивление в 1 и 2 среде (см.(2.19)):

В отсутствие токов и зарядов на границе раздела запишем граничные условия для нормального падения:

где Eτ и Hτ - тангенциальные компоненты векторов Е и Н

(везде подразумеваются комплексные амплитуды векторов). Следовательно:

26

Епад + Еотр = Епрош ,

Нпад + Нотр = Нпрош .

Найдем коэффициент отражения по амплитуде для случая нормального падения:

Аналогично можно получить выражение для коэффициента прохождения по амплитуде:

Мы видим, что коэффициент прохождения t всегда больше нуля. Это означает, что векторы Епрош и Епад в каждый момент

времени имеют одинаковое направление (в непосредственной близости от границы раздела). Колебания в прошедшей и падающей волне происходят в одной фазе.

Коэффициент отражения r принимает значения меньше нуля при n 2 > n1 . Это означает, что векторы Еотр и Епад направлены противоположно. Их колебания вблизи границы раздела

27

происходят в противофазе. Если же n1 > n 2 , то изменения фазы при отражении не происходит.

3.3. Наклонное падение. Формулы Френеля.

Рассмотрим плоскую волну, падающую на границу раздела двух сред под углом ϕ. Необходимо, как и в случае нормального падения, записать формулы для коэффициента отражения и прохождения. Эти формулы позволяют находить комплексные амплитуды полей отраженной и прошедшей волны, когда падающая волна задана. Результирующие формулы зависят от поляризации падающей волны. Мы отдельно рассмотрим две ортогональные поляризации. В одном случае вектор Е перпендикулярен плоскости падения, в другом - параллелен плоскости падения. Ясно, что все другие типы поляризации можно рассматривать в виде суперпозиции решений, полученных для случаев

перпендикулярной и параллельной поляризации.

Будем использовать в качестве обозначения индексы

- для величин в случае перпендикулярной поляризации,

||- для величин в случае параллельной поляризации.

Дадим определения используемых понятий.

Коэффициент отражения света по амплитуде для света перпендикулярной поляризации:

28

Коэффициент отражения света по интенсивности:

Коэффициент пропускания света по интенсивности:

Формулы Френеля позволяют рассчитать коэффициенты отражения и пропускания:

Ранее найденные формулы (3.6-3.8) для нормального падения являются частным случаем формул Френеля.

Можно показать, что для волны параллельной поляризации для любых соотношений диэлектрических проницаемостей сред коэффициент отражения r|| при некотором угле падения меняет

знак, проходя через нуль. Это означает, что отражение отсутст-

29

вует и происходит полное прохождение волны параллельной поляризации во вторую среду.

Угол падения, при котором происходит полное прохождение волны параллельной поляризации, называется углом

В случае падения неполяризованной волны под углом Брюстера отраженная волна будет полностью поляризованной, причем колебания в отраженной волне будут происходить в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Коэффициенты отражения и прохождения по интенсивности, найденные для случая, когда в падающей волне присутствует только одна - параллельная или перпендикулярная - поляризация:

Если в падающей волне присутствуют как параллельная, так и перпендикулярная поляризации, коэффициенты отражения и прохождения по интенсивности нужно рассчитывать по форму-

лам (3.12) и (3.13).

Интенсивность падающего, отраженного и прошедшего све-

та:

30