Фово Лекции

ЛЕКЦИЯ 5 Гауссовы пучки в различных средах

5.1. Гауссов пучок в линзоподобной среде. Лучевые матрицы

Во многих случаях приходится иметь дело с линзоподобной средой, показатель преломления которой изменяется по закону:

где r - расстояние от оси z , ( r2 = x2 + y2 ), n0 - показатель преломления на оси Oz,

k2 - некоторая постоянная, характеризующая среду, k - волновое число.

Например, показатель преломления градиентных волокон приблизительно описывается выражением (5.1). Если показатель преломления n=const, то решение волнового уравнения ищем в виде плоских волн. Если n зависит от координат, то плоские волны не будут являться решением волнового уравнения. Однако в том случае, когда n медленно меняется с расстоянием, решение можно искать в виде, близком к плоской волне настолько, насколько это возможно (см. п. 4.1).

Воспользуемся уравнением эйконала (4.11): gradS(r) 2 = n 2 (r) .

Рассмотрим параксиальные лучи, то есть лучи, составляющие очень малые углы с осью z . Можно показать, что в случае линзоподобной среды, описываемой выражением (5.1), уравнение эйконала для лучей записывается в следующем виде:

где r - расстояние от оси Oz.

Напряженность электрического поля в гауссовом пучке для среды с цилиндрической симметрией выражается через некото-

41

Поведение светового луча можно описать при помощи вектора-

r′ = dzdr . Можно доказать, что эволюция параметра пучка q(z) и

r

параметра луча r′ происходит одинаково. Таким образом, най-

r

дя закон изменения r′ , мы найдём закон изменения q(z), а с по-

мощью q(z) мы с помощью выражения (4.16) полностью опишем гауссов пучок.

Рассмотрим две произвольные плоскости 1 и 2, перпендикулярные направлению распространения пучка, то есть перпендикулярные оси Oz. С учетом уравнения (5.2) можно записать связь между параметрами луча, относящимися к 1 и 2 плоскости, следующим образом:

Рассмотрим распространение гауссова пучка через две линзоподобные среды, примыкающие друг к другу. Пусть первая

42

Рис. 5.1. Прохождение гауссова пучка через две среды.

Запишем преобразование параметра q. Параметр q2 на выходе из первой среды связан с параметром q1 на входе посредством лучевой матрицы 1:

Аналогично параметр q3 на выходе из второй среды связан с параметром q2 посредством лучевой матрицы 2:

q3 = A2 q2 ++ B2 . C2 q2 D2

Параметры q3 на выходе и параметр q1 на входе связаны через

q3 = A q1 ++ B . C q1 D

Таким образом, результирующая матрица находится как произведение матриц, описывающих среду 2 и среду 1:

43

Приведем лучевые матрицы для некоторых простейших элементов и сред.

1. Однородная среда длиной d:

Oz

d

2. Тонкая линза с фокусным расстоянием f:

Вход Выход

Oz

3. Граница раздела диэлектриков с показателями преломления n1

и n2 :

4. Сферическая граница раздела диэлектриков радиуса R:

44

зом, линза вносит фазовый сдвиг, точно соответствующий квадратичному закону, то есть работает как среда с квадратичным показателем преломления.

Рассмотрим гауссов пучок. Будем считать, что при выпол-

нении условия z < z0 = πω0 2 n

λ

лельным. Будем считать, что далее он расходится. Если мы хотим скорректировать эту расходимость, то достаточно поместить на достаточно большом расстоянии z >> z0 линзу с фокус-

ным расстоянием f = R ≈ z (на достаточно большом расстоянии от перетяжки гауссов пучок является практически сферической волной, а линза преобразует сферическую волну, выходящую из ее фокуса, в плоскую). Таким образом, на выходе из линзы пучок станет параллельным, а поскольку ширина пучка стала больше, он дольше останется параллельным.

парал. лучи

Практическая сферическая

Чтобы не был нужен целый каскад линз, было предложено компенсировать естественную ширину пучка непрерывно. С этой

46

целью используют среду с показателем преломления, меняющимся по квадратичному закону:

Направим на такую среду гауссов пучок. В вакууме лучи в пучке сначала идут почти параллельно. Будем считать, что на границе зоны, где пучок является параллельным, z = ω0 . (напоми-

наем, что z- расстояние от перетяжки, ω0 -радиус пучка в пере-

тяжке). Радиус кривизны волновой поверхности в гауссовом пучке:

Среда с квадратичным показателем преломления (5.9) толщины dz действует как линза, создающая следующий радиус кривизны:

естественная расходимость гауссова пучка будет полностью скомпенсирована благодаря свойству квадратичной среды осуществлять самофокусировку. На выходе получается пучок с гауссовым распределением амплитуды по сечению, но с плоским волновым фронтом.

Условие (5.12) выполняется при z0 2 = n 0 , если принять n 2

ω0 = r . Это означает, что должно выполняться следующее соотношение между параметрами ω0 и λ, характеризующими гауссов пучок, и параметрами квадратичной среды n0 и n2:

47

5.3. Моды гауссова пучка

До сих пор мы рассматривали гауссов пучок с цилиндрической симметрией в линзоподобной среде и исследовали поведение комплексного параметра q. Рассмотрим среду квадратичным с показателем преломления (5.8). При этом волновое уравнение (4.15) приобретет вид

где k = ωc n 0 . Ищем решение уравнения (5.14) в виде произведе-

ния:

Подставляя (5.15) в (5.14) и разделяя переменные [5], получим уравнение, совпадающее с уравнением Шредингера, возникающим при рассмотрении колебаний гармонического осциллятора. Его решение имеет вид:

номы Эрмита, индексы l и m принимают целые значения: l = 1, 2,3 .. , m =1, 2,3 ... .

Таким образом, имеется бесконечное множество решений волнового уравнения, зависящих от номеров l и m . Каждое та-

кое решение называется модой (модой распространения).

48

βl,m называется постоянной распространения. Постоянная

распространения играет роль волнового числа, если рассматривать распространение сигнала вдоль оси Oz. Постоянная распространения принимает ряд дискретных значений, зависящих от номеров моды l и m :

Особенности модовых решений:

1.В однородной среде распространение вдоль оси Oz описывается множителем e−iβ z , где k - волновое число - может

принимать любые значения. В среде с квадратичным показателем преломления могут распространяться моды только с определенными значениями постоянной распространения

βl,m (см. 5.17).

сит от координаты z. В среде с квадратичным показателем

(5.13)) не зависит от z. Это объясняется фокусирующим действием среды, которое противодействует уширению пучка.

3.Постоянная распространения βl,m зависит от модовых индексов l и m , следовательно, разные моды имеют различные фазовые и групповые скорости, зависящие от l и m :

49