Фово Лекции

Аналогичные соотношения можно записать для отраженной и прошедшей волны. Необходимо помнить, что угол наклона в них будет другим: α отр и α прош .

Если луч попадает из среды, оптически более плотной, в среду, оптически менее плотную ( n1 > n 2 ), то возможно полное

отражение луча (полное внутреннее отражение). При этом луч не проходит во вторую среду, и угол преломления в 3.1 равен нулю ψ = 0 . Отсюда можно найти предельный угол падения

луча, соответствующий полному внутреннему отражению

При полном отражении модуль коэффициента отражения по амплитуде равен единице, но меняется фаза волны:

31

Eотр = Епад e iδ ,

где δ|| и δ - сдвиг фаз для волны параллельной и перпендику-

лярной поляризации соответственно при полном внутреннем отражении. При этом

Выводы

Формулы Френеля позволяют проводить расчет коэффициентов отражения и прохождения для волн параллельной и перпендикулярной поляризации при распространении света через границу раздела двух сред.

Вопросы и задачи

3.1.Сформулируйте законы отражения и преломления света.

3.2.Как определяется коэффициент отражения (преломления) света по амплитуде? О чем говорит отрицательной значение коэффициента отражения по амплитуде?

3.3.Что такое угол Брюстера? Как его рассчитать?

3.4.В чем заключается явление полного внутреннего отражения света? При каком соотношении между показателями преломлений сред наблюдается полное отражение?

3.5.При каком значении угла падения θ луч, отраженный от поверхности воды, будет перпендикулярен к преломленному

32

ЛЕКЦИЯ 4 Распространение света в неоднородных средах.

Гауссовы пучки 4.1. Уравнение эйконала

В среде с однородным показателем преломления решениями уравнений Максвелла являются плоские волны. В случае

неоднородной среды, когда n = n(x, y, z), таких решений в виде

плоских волн не существует. Мы знаем, что однородная плоская волна, распространяющаяся в среде с показателем преломления n в направлении, описываемом волновым вектором k, описывается следующими выражениями:

где r - радиус-вектор рассматриваемой точки. Запишем волновой вектор в следующей форме:

В случае неоднородной среды разумно предположить, что электромагнитное поле можно приближенно описать при помощи "локально" плоских волн (то есть их можно приближенно считать плоскими в окрестностях данной точки):

где E0 (r) и H0 (r) -медленно меняющиеся амплитуды, завися-

щие от координат,

S(r) - некоторая вещественная скалярная функция положения. Функция S(r) называется эйконалом.

33

Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. С использованием понятия эйконал, волновая поверхность - это совокупность точек, удовлетворяющих условию:

Представление (4.6-4.7) в виде "локально" плоских волн справедливо лишь при выполнении условия медленности изменения амплитуд поля:

Это означает, что когда относительное изменение амплитуды напряженностей поля должны быть малы по сравнению с размерами системы x , выраженными в длинах волн λ .

Таким образом, на каждом малом участке волну можно рассматривать как плоскую, то есть волновую поверхность можно заменить частью плоскости, касательной к ней в рассматриваемой точке. В результате мы приходим к концепции световых лучей, направленных по нормали к волновой поверхности, то есть к геометрической оптике.

Если разложения (4.6-4.7) подставить в уравнения Максвелла для случая отсутствия сторонних токов и зарядов, получим так называемое уравнение эйконала:

Величина S(r) определяет световой луч в каждой точке волновой поверхности. Следовательно, уравнение эйконала является основным уравнением геометрической оптики.

4.2. Распространение лазерных пучков

Следующие несколько лекций посвящены проблемам распространения лазерных пучков в различных средах, так как лазеры широко применяются для передачи сигналов по оптоволо-

34

конным линиям связи. Лазерный пучок, в отличие от бесконечных плоских волн, ограничен в поперечном направлении и уширяется по мере распространения. Лазерный пучок представляет собой когерентное электромагнитное излучение, и его распространение описывается уравнениями Максвелла. Лазерный пучок имеет высокую степень монохроматичности, поэтому естественно по-прежнему предположить следующую временную зависимость:

H& = H& m ei ω t .

По-прежнему, рассматриваем волны как решения уравнений Максвелла (2.4):

4.3. Гауссовы пучки в однородной среде

Oz

Рис. 4.1

Рассмотрим лазер и генерируемый им пучок излучения (см. рис. 4.1). Цифрами (1) и (2) на рисунке обозначены плоскопараллельные зеркала, (1) - непрозрачное, (2) - полупрозрачное зеркало. Зеркала (1) и (2) составляют лазерный резонатор или резонатор Фабри-Перо. Излучение, возникающее в активной среде, испытывает многократное отражение от зеркал. При каждом отражении от зеркала происходит дифракция. После многократного отражения лазерное излучение выходит наружу через

35

зеркало (2), имея в результате дифракции гауссово распределение амплитуды и уширение вдоль оси Oz.

Гауссовым пучком называется пучок, поперечное распределение напряженности электрического поля в котором определяется функцией Гаусса:

сти, перпендикулярной оси Oz, ω0 - радиус пучка в перетяжке.

Интенсивность пучка пропорциональна квадрату ам-

где Io- интенсивность на оси пучка. Перетяжка - самое узкое место пучка (см. рис. 4.3).

36

Рис. 4.3. Ход лучей в гауссовом пучке в однородной среде. Здесь z=0 - плоскость перетяжки, пунктиром изображены волновые поверхности.

Гауссов пучок в однородной среде является решением волнового уравнения:

При этом предполагается, что вдоль оси Oz фаза меняется ли-

Здесь q(z) - некоторый комплексный параметр;

ω(z) - ширина распределения интенсивности или радиус пучка

(см. рис. 4.3) :

37

πω2 n z0 = λ0 ,

λ - длина волны, z - расстояние от перетяжки;

R(z) - радиус кривизны волновой поверхности (см. рис. 4.3). По мере распространения вдоль оси Oz радиус кривизны R(z) меняется по закону:

На больших расстояниях от начала координат R совпадает с расстоянием от перетяжки до волнового фронта z. Это означает, что в дальней зоне волновой фронт гауссова пучка приближается к волновому фронту сферической волны, распространяющейся из точки, расположенной на оси пучка в месте его фокальной перетяжки.

Гауссов пучок — это практичеcки сферическая волна, идущая из центра и обладающая гауссовым распределением интенсивности в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения.

В фокальной перетяжке волна является плоской, но пространственно ограниченной эффективным размером ω0. На

большом расстоянии от перетяжки (z>>π ω02 /λ) радиус пучка вычисляется по формуле:

Рассмотрим картину распространения гауссова пучка (рис.4.4). Траектории лучей задаются гиперболами. На больших расстояниях z от перетяжки гиперболические по-

верхности x 2 + y2 = ω2 , задающие траекторию лучей и на-

правление распространения энергии, асимптотически стре-

38

мятся к коническим поверхностям. Половина угла при вершине такого конуса называется угловой расходимостью пучка:

плоскость перетяжки

Рис. 4.4. Угловая расходимость θ гауссова пучка.

Угловая расходимость зависит от длины волны и диаметра пучка в перетяжке. Выясним физический смысл параметра z0 .

Пусть координата вдоль оси Oz равна z0 . Тогда из формулы (4.17) следует, что

39