Фово Лекции
.pdf
Fтр = −gr - аналог силы трения. Учитывает потери на поглоще-
ние света; Fк = e E - сила Кулона. Поделим (9.5) на m :
r′′+ 2 γr′ + ω02 r = |
e |
E . |
(10.7) |
|
m |
||||
|
|
|
Это уравнение вынужденных колебаний под действием силы Кулона. Здесь
γ = g /(2m) - коэффициент затухания,
ω0 = 
k / m - собственная частота колебаний.
Вообще говоря, правильную теорию дисперсии дает только квантовая механика. На самом деле квазиупругих сил и сил трения, пропорциональных скорости заряженных частиц, в атомах и молекулах нет. Однако квантовая механика дает поразительный результат: в отношении дисперсии и поглощения света атомы и молекулы ведут себя так, как если среда представляла собой набор осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания, подчиняющихся законам законам Ньютона.
Пусть на оптический электрон действует электрическое поле плоской волны
E = E |
0 |
ei(ωt−k r) = E(r) ei ωt . |
(10.8) |
|
|
|
Амплитуда поля E(r) меняется от точки к точке, однако мы
пренебрежем этим обстоятельством. Нас интересует частное решение уравнения (9.6), представляющее вынужденное колебание осциллятора:
r =r ei ωt . |
(10.9) |
0 |
|
Амплитуду колебаний r0 находим, подставляя (10.9) в (10.7).
Если пренебречь отличием микроскопического поля от поля E , то после подстановки получим:
r = |
e / m |
2 i ωγ E . |
(10.10) |
ω02 − ω2 − |
91
Под действием поля электромагнитной волны среда поляризуются. При этом отдельный атом в электрическом поле Е приобретает дипольный момент
|
|
|
e2 / m |
|
|
|
p = er = |
|
E= αE , |
(10.11) |
|
|
ω02 − ω2 − 2iωγ |
||||
где α = |
e2 / m |
- поляризуемость атома. |
|
||
ω02 − ω2 − 2i ωγ |
|
||||
Пусть N - концентрация атомов (число атомов в единице объема). Запишем вектор поляризации среды:
P = N αE .
Тогда вектор электрической индукции
|
|
Nα |
|
|
|
+ |
|
=εε0E . (10.12) |
|
D = ε0E + P =ε0E + N αE = ε0E 1 |
ε0 |
|
||
|
|
|
|
Диэлектрическая проницаемость среды задается следующим выражением:
|
|
|
N |
e2 |
|
|
|
ε =1 + |
Nα |
=1 + |
mε0 |
|
|||
|
|
||||||
ε0 |
ω02 − ω2 − 2iωγ |
. |
(10.13) |
||||
Таким образом, мы получили зависимость диэлектрической проницаемости от частоты, причем ε оказалась комплексной. Этого и следовало ожидать. так как в данной модели учтено поглощение света. Ясно, что и показатель преломления тоже будет комплексным:
n = n′+ i n′′. |
(10.14) |
92
На рисунке 10.2 приведен типичный вид кривых n′иn′′ в окрестности полосы поглощения, соответствующей резонансу на частоте, равной собственной частоте колебаний электрона
ω0 .
Из рисунка видно, что вдали от собственной частоты ω0 действитель-
ная часть показателя преломления n′ возрастает с частотой. Это область нормальной дисперсии. Вблизи ω0
наблюдается резкий рост мнимой части показателя преломления n′′, что говорит о сильном затухании (поглощении). Действительная часть n′ вблизи ω0 убывает. Это область ано-
мальной дисперсии.
Теоретические соображения, изложенные выше, справедливы не
только для электронов, но и для ионов. Во всех веществах наблюдается несколько полос поглощения. Чтобы
это учесть, принимается, что вещество построено из частиц различного типа (электронов, ионов) с различными собственными частотами. Тогда диэлектрическая проницаемость имеет вид:
m |
N |
k |
|
|
ek |
2 |
|
|
|
|
mk |
ε0 |
|
|
|||||||
ε =1 + ∑ |
|
|
|
|
, |
(10.15) |
||||
2 |
|
|
2 |
− 2 i ωγk |
||||||
k=1 |
ω0k − ω |
|
|
|
|
|||||
где Nk - концентрация частиц k-го сорта, mk и ek -масса и заряд частиц k-го сорта, ω0k и γk - собственная частота и коэффициент затухания частиц k-го сорта.
93
Рис. 10.3. Зависимость действительной и мнимой части показателя преломления от частоты.
На рисунке 10.3 приведены зависимости действительной и мнимой части показателя преломления от частоты для идеального диэлектрика. На рисунке видны несколько полос поглощения. На низких частотах основную роль играют атомы или ионы с большими массами и малыми собственными частотами ω0k (атомные резонансы). На высоких частотах основное влия-
ние оказывают электроны с малой массой и большой собственной частотой колебаний (электронные резонансы).
Вдали от резонансных частот влияние мнимой части ε может быть незначительным, и тогда показатель преломления можно записать следующим образом:
94
n 2 −1 ≈ ... + |
A |
+ |
B |
+ C + Dλ2 |
+ Eλ4 +... . (10.16) |
4 |
2 |
||||
|
λ |
λ |
|
||
Это формула Селмейера, записанная в виде разложения в ряд по
степеням λ2 . Коэффициенты A, B, C, D, E на практике подбираются так, чтобы получить максимальное соответствие экспериментальным данным. Формула Селмейера дает превосходное соответствие с экспериментом и применяется для расчета дисперсии в реальных оптических волокнах.
Выводы
Рассмотрен механизм возникновения межмодовой дисперсии в оптическом волокне, выведена формула для расчета межмодовой дисперсии в ступенчатом волокне. Отмечено, что в градиентном волокне с квадратичным профилем показателя преломления межмодовая дисперсия для меридиональных лучей отсутствует.
Подробно рассмотрен физический механизм возникновения материальной дисперсии. С применением квантовомеханической аналогии выведена формула зависимости диэлектрической проницаемости (а, следовательно, и показателя преломления) от частоты.
Вопросы и задачи
10.1.Что такое межмодовая дисперсия? Выведите формулу для расчета межмодовой дисперсии в ступенчатом волокне.
10.2.В каких единицах измеряется межмодовая дисперсия?
10.3.Чему равна межмодовая дисперсия в градиентном волокне для меридиональных лучей?
10.4.Что такое материальная дисперсия?
10.5.Как зависит диэлектрическая проницаемость среды от частоты? Какие частоты называются резонансными? Как их определить по графику зависимости диэлектрической проницаемости среды от частоты?
10.6.Рассчитайте межмодовую дисперсию для волокна из задачи 8.9. Ответ выразите в нс/км. Сделайте вывод: как изменяется величина межмодовой дисперсии при увеличении числовой апертуры.
95
ЛЕКЦИЯ 11 Учет совместного влияния различных видов дисперсии
11.1. Расчет материальной дисперсии в объемной среде
В предыдущей лекции мы рассмотрели механизм возникновения материальной дисперсии, то есть зависимости показателя преломления от частоты. Теперь проведем расчет уширения импульса света, прошедшего через среду с дисперсией. В дальнейшем под термином "материальная дисперсия" будет пониматься именно уширение импульса, возникшее в дисперсионной среде.
Любой сигнал распространяется с групповой скоростью, характеризуемой соотношением
vгр = |
d ω |
1 |
|
|
|
|
= |
|
, |
(11.1) |
|
d β |
d β |
||||
d ω
где β= ωcn .
В среде с дисперсией показатель преломления n зависит от частоты. Проведем расчет:
|
|
d β |
= |
n |
+ ω |
d n |
|
= |
n |
|
+ ω |
d n |
|
d λ |
. |
(11.2) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
d ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c c d ω |
|
|
c c d λ d ω |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если учесть, что |
λ = |
2 πc |
, то |
|
d λ |
|
=− |
2πc |
|
. Подставляя полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ω |
|
d ω |
|
|
|
|
n ω2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ченное выражение в (11.2), находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
d β |
= |
n |
− |
1 |
|
d n |
|
|
2 πc |
= |
n |
|
− |
1 |
|
d n |
λ . |
(11.3) |
||||||||||||||||||||
|
d ω |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c c d λ n ω |
|
|
|
c c d λ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Тогда групповая скорость находится следующим образом: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vгр = |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем время, за которое световой импульс проходит расстояние L:
96
t = |
L |
= |
L |
(n − λ |
d n |
) . |
(11.5) |
vгр |
c |
|
|||||
|
|
|
d λ |
|
|||
Если свет имеет ширину спектра |
λ относительно λ , и ес- |
||||||
ли среда дисперсионная, то световой импульс расширяется в процессе распространения и поступает на выход на протяжении
интервала t , определяемого соотношением: |
|
|
|
||||||||||||
|
d t |
|
L dn |
|
dn |
|
d2 n |
|
L |
|
d2 n |
|
|||
t = |
|
λ= |
|
|
|
− |
|
−λ |
|
|
λ=− |
|
λ |
|
λ . (11.6) |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
d λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||
|
|
c dλ dλ |
|
dλ |
|
|
|
dλ |
|
||||||
Таким образом, за уширение импульса ответственна величина
λd2n , а не dn . dλ2 dλ
Определим ширину спектра источника излучения λ
как диапазон длин волн, в пределах которого излучаемая им мощность превышает 50 % максимального значения. Часто удобно использовать относительную ширину спектра излучения γ , равную
γ= |
λ |
|
ω |
|
. |
(11.7) |
|
= |
|
||||||
λ |
ω |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, после прохождения световым импульсом расстояния L в дисперсионной среде импульс расширяется, причем его длительность на уровне половинной мощности определяется выражением:
t mat = τmat = tLmat =
L |
λ |
2 |
d2 n |
|
|
||
|
|
|
λ |
|
|
, |
(11.8) |
c |
λ |
|
dλ2 |
||||
λ |
λ |
d2 n1 |
= |
λ M(λ) . |
(11.9) |
||
|
|||||||
|
|
c |
d λ2 |
|
|
|
|
97
Нижний индекс τmat показывает, что уширение импульса про-
изошло из-за наличия материальной дисперсии.
На рисунке 11.1 и 11.2 представлены зависимость диспер-
2 |
d2 n |
λ d2 n |
||
сионного параметра λ |
|
и параметра c |
|
от длины вол- |
dλ2 |
dλ2 |
|||
ны для чистого кварца [1].
Рис. 11.1.
Как видно из рис. 11.1 и 11.2, кривая d2 n из чистого кварца dλ2
изменяет знак на длине волны λ =1,276 мкм. В литературе ино-
гда эту длину волны называют длиной волны нулевой дисперсии (об использовании этого термина см. ниже в п. 11.2).
98
Рис. 11.2.
11.2. Хроматическая дисперсия
Хроматическая дисперсия состоит из материальной дисперсии и волноводной дисперсии. Материальной дисперсией мы называем уширение импульса, происходящее из-за того, что показатель преломления среды зависит от длины волны или частоты. Расчет материальной дисперсии представлен в предыдущем пункте (формула (11.8)). В дальнейшем будем обозначать материальную дисперсию τmat .
Волноводной дисперсией называется уширение импульса, происходящее из-за того, что постоянная распространения моды зависит от длины волны или частоты [3]:
τw = |
t w |
= |
λ |
2 n12 |
= λ N(λ) , |
(11.10) |
|
L |
c λ |
||||||
|
|
|
|
|
99
где λ - уширение длины волны вследствие некогерентности источника излучения,
= |
n12 − n 22 |
- относительная разность показателей преломле- |
|
2 n12 |
|||
|
|
ния.
Результирующее уширение импульса, возникающее в результате влияния хроматической дисперсии находится следующим образом:
τchr =τmat +τw . |
(11.11) |
С учетом формул (11.9) и (11.11) хроматическая дисперсия вычисляется по формуле
τchr = λ D(λ) , |
(11.12) |
где D(λ) = M(λ) + N(λ) - результирующий |
коэффициент удель- |
ной хроматической дисперсии. D(λ) измеряется в пс/(нм км) .
Если волноводная дисперсия, рассчитанная по формуле (11.10) всегда больше нуля, то материальная дисперсия (11.8) может быть как положительной, так и отрицательной. При определенной длине волны λ0 (примерно 1310 ±10 нм для сту-
пенчатого волокна) происходит взаимная компенсация материальной и волноводной дисперсии, и хроматическая дисперсия становится равной нулю. Эта длина волны, на которой хрома-
тическая дисперсия обращается в ноль, называется "длиной волны нулевой дисперсии" λ0 . Однако не следует забывать,
что реальный световой импульс содержит в себе не одну длину волны, а спектр длин волн, которые распространяются с групповыми скоростями, лежащими в некотором интервале. Поэтому на практике хроматическая дисперсия не обращается в ноль, но принимает очень маленькое значение для источников, которые излучают на длинах волн, близких к λ0 .
11.3. Совместное влияние межмодовой и хроматической дисперсии
До сих пор рассматривалось два независимых эффекта, которые обусловливают дисперсию в оптических волокнах: межмодовая дисперсия и хроматическая дисперсия. В волокне оба
100