Lektsii_Fizika_chast_III

Рассмотрим качественно отличие между металлами, диэлектриками и полупроводниками. Если приложить к образцу внешнее электрическое поле, то электроны смогут изменять свою энергию и переходить в новое квантовое состояние. Такие переходы, однако, наблюдаются, если в энергетической зоне, к которой принадлежат данные электроны, имеются не занятые квантовые состояния. Подобные зоны создаются у металлов. Например, у лития валентная зона, образованная из 2s1- электронов, заполнена лишь на половину, а у щелочноземельных металлов она хотя и заполнена полностью, но перекрывается со свободной зоной (гибридизация зон). Металлы хорошо проводят электрический ток.

У полупроводников и диэлектриков валентные зоны заполнены целиком и отделены от близлежащей свободной зоны широким энергетическим интервалом. Внутри такой зоны внешнее электрическое поле может лишь вызвать перестановку электронов местами, но не электрический ток. С повышением температуры электроны смогут перейти в свободную зону (полупроводники), что приведет к увеличению их электропроводности.

Одной из основных задач теории твердого тела является определение зависимости энергии электрона от его импульса. Ее решают только с помощью ряда упрощений:

-пренебрегают тепловым движением ионов (адиабатическое приближение);

-рассматривают движение электрона в результирующем поле других электронов и атомов (одноэлектронное приближение);

-в приближении слабой связи внешних электронов атома потенциальную функцию электрона U(r) считают периодической,

спериодом равным постоянной кристаллической решетки (модель кристалла в виде трехмерного потенциального ящика со слабо рифленым дном).

Решением уравнения Шредингера в этом случае будет волновая функция (функция Блоха)

где u(r) – пространственно периодическая функция с периодом, равным постоянной решетки. Таким образом, волновая функция свободного электрона в кристалле является модулированной плоской волной.

В этой ситуации зависимость Е E(k), в частности, приобретает следующий вид (рис. 9.8). В кристалле внутри каждой зоны энергия свободного электрона растет с увеличением волнового числа k, а при значениях

где n 1, 2, ..., энергия претерпевает разрыв, приводящий к образованию запрещенных зон.

2

Если подставить в выражение (9.8) соотношение k , по-

лучим

что хорошо соотносится с известной формулой Вульфа-Брэгга 2a sin n , выражающей условие отражения волн от плоскостей решетки для случая, когда угол скольжения 90 .

81

Рис. 9.7

То есть электроны с такой длиной волны, двигаясь перпендикулярно плоскостям решетки, испытывают полное внутреннее отражение и распространяться в кристалле не могут.

Области значений k, в пределах которых энергия электрона изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв,

называются зонами Бриллюэна.

Вопросы для повторения

1.Что называется краевыми и винтовыми дислокациями?

2.Что означает термин «нормальные колебания кристаллической решетки»?

3.Объясните, что такое фононы. Какой статистикой описывается поведение этих частиц?

4.Объясните, как возникают зоны энергий в кристалле.

5.В чем заключается отличие зонных схем металлов, полупроводников и диэлектриков?

6.Дайте краткую характеристику приближений, которыми пользуются для описания движения электрона в кристалле.

7.Что называется функцией Блоха?

8.Что называется зонами Бриллюэна?

Литература: [1, 4 – 6, 8, 9]

82

Соотношение (10.5) представляет собой второй закон Ньюто-

характеризующую электрон. Эта масса получила название эф-

фективной:

(если поле решетки совпадает по направлению с внешним электрическим полем, m* me, если наоборот, то m* me), а по знаку принимать как положительные, так и отрицательные значения. Эффективная масса является параметром данного материала. Общая ситуация показана на рис. 10.1.

84

10.2. Понятие о дырках

Электроны валентной зоны под действием ряда факторов (электрическое поле, тепловая энергия и т.д.) могут переходить в близлежащую свободную зону или занимать свободные состояния внутри валентной зоны, если таковые имеются. На месте ушедшего электрона формируется вакантное состояние, которое получило название «дырки». Образующееся вакантное состояние может замещаться соседними электронами валентной зоны, и дырка как бы перемещается по кристаллу. Если приложить внешнее электрическое поле, появится дырочный ток (если цепь замкнута).

Таким образом, дырки – это квазичастицы, которые очень удобны для описания различных кинетических явлений в твёрдых телах. Дырки являются вакансией электрона, поэтому их энергию отсчитывают от потолка валентной зоны вниз. Согласно принципу «минимизации» энергии, основным состоянием дырки является потолок валентной зоны.

Дырка, подобно электрону обладает эффективной массой. По абсолютной величине ее эффективная масса равна эффективной массе электрона, который ранее занимал данное вакантное состояние, и положительна. Заряд дырки равен 1,6 10 19 Кл.

10.3. Основные типы энергетических уровней в кристаллах

Любые кристаллы всегда содержат точечные дефекты (собственные или примесные), которые создают локальные энергетические уровни. Эти уровни локальны, так как точечных дефектов намного меньше, чем атомов основного вещества. Они могут располагаться как в разрешённой, так и в запрещенной зонах кристалла, существенно влияя на его оптические и электрофизические свойства.

10.3.1. Донорные уровни

Донорные уровни образуют точечные дефекты, имеющие лишний электрон (или электроны), который не участвует в свя-

85

зях для образования решетки. Энергетический уровень такого электрона обычно находится около дна свободной зоны. Примером может служить примесь мышьяка (As) в германии (Ge) или кремнии (Si), рис. 10.2.

В кристаллической решетке кремния каждый атом окружен четырьмя ближайшими соседями, образуя с ними прочные валентные связи. Примесь мышьяка (донорная примесь замещения) имеет пять валентных электронов (V группа периодической таблицы), четыре из них будут находиться в химической связи с соседними атомами кремния, а пятый в образовании такой связи

Полупроводник n-типа

Рис. 10.2

не участвует. Этот «лишний» электрон слабо связан с ядром и изображается на зонной схеме кремния локальным энергетическим уровнем, заполненным электроном и расположенным вблизи свободной зоны, рис. 10.2. При сообщении электронам таких донорных уровней совсем небольшой энергии Ed (в нашем примере Ed 0,05 эВ) они переходят в свободную зону, которая из-за их появления, превращается в зону проводимости. Образующиеся при этом положительные заряды локализуются на неподвижных атомах примеси и в электропроводности не участвуют.

86

10.3.2. Акцепторные уровни

Акцепторный уровень создает точечный дефект (акцептор), у которого не хватает электронов для осуществления всех связей в кристаллической решетке. Примером может служить примесь индия (In) в германии или кремнии, рис. 10.3.

Рис. 10.3

Для образования связи с четырьмя ближайшими атомами кремния у индия не хватает одного электрона. В результате на зонной схеме кремния образуется пустой локальный энергетический уровень (акцепторный уровень), расположенный вблизи валентной зоны, рис. 10.3. При сообщении кристаллам кремния достаточно низкой энергии Ea (в нашем примере Еа 0,16 эВ) электроны валентной зоны переходят на свободные локализованные акцепторные состояния. В валентной зоне образуются дырки, и может наблюдаться дырочная проводимость, при этом атомы индия превращаются в отрицательно заряженные ионы.

Возможна ситуация, когда доноры и акцепторы присутствуют одновременно, тип проводимости (электронная или дырочная) в этом случае зависит от соотношения концентрации доноров и акцепторов и положения их энергетических уровней в запрещенной зоне.

87

связанную кулоновскими силами временно существующую систему, которая получила название – экситон. В предположении слабого взаимодействия, когда размеры экситона велики по сравнению с постоянной решетки кристалла, экситон можно представить как электрон и дырку, связанные кулоновскими силами и медленно двигающимися по большим орбитам относительно их центра масс. В такой модели экситон ведет себя аналогично атому позитрония и имеет водородоподобную схему расположения энергетических уровней, которые иногда изображают в запрещенной зоне кристалла.

10.4. Распределение электронов по энергетическим уровням

10.4.1. Собственный полупроводник

Рассмотрим сначала собственный полупроводник. Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака, поэтому перенесем основные выкладки, которые были получены для газа фермионов, к нашей ситуации, рис. 10.6.

Поскольку концентрация электронов, обладающих энергией в интервале E, E dE определяется выражением

то концентрация электронов в зоне проводимости равна

EC

При обычных температурах энергия электронов в зоне проводимости не превышает kT, поэтому они в основном сосредоточены в нижней части этой зоны. В таких условиях уравнение (10.8) можно переписать в виде (начало отсчета по шкале энергий ЕC 0):

У нас EC EF kT (как увидим, в дальнейшем EF в собственном полупроводнике находится примерно посередине запре-

89