Lektsii_Fizika_chast_III

Уравнение (10.12) выглядит так, как будто мы работаем только с одним уровнем энергии EC и число состояний, соответ-

ствующих этой энергии, равно NC (при температуре T 300 K,

NC 2,5 1019 см 3).

Вернемся к рассмотрению положения уровня Ферми в собственном полупроводнике, которому соответствует условие n p, где р – концентрация дырок.

Вводя, по аналогии с (10.12) уравнение

где m*p – эффективная масса дырки, и, учитывая условие n p, получаем:

Логарифмируя (10.14) и преобразуя полученное выражение, переходим к формуле для расчёта положения уровня Ферми

Как следует из (10.17), концентрация электронов и дырок растет с повышением температуры. Если построить график за-

1

висимости n(T) в координатах ln(n) от 2kT , то получим прямую,

тангенс угла наклона которой численно равен ширине запрещенной зоны, рис. 10.7. При таком, обычно реализуемом на

91

Вопросы для повторения

1.Что называется эффективной массой электрона и дырки?

2.Что в физике полупроводников называется «дыркой»?

3.Охарактеризуйте основные типы энергетических уровней электронов в кристаллах.

4.Что означают термины «донор» и «акцептор»? В чём заключается отличие между донорами и акцепторами?

5.Что называется экситоном?

6.Объясните, как электроны распределяются по энергетическим уровням в собственном и примесном полупроводниках.

7.Каким образом можно определить ширину запрещенной зоны

иэнергетическое положение донорных и акцепторных уровней в полупроводниках?

Литература: [1 – 6, 9]

93

Лекция № 11

11.1. Электропроводность твердых тел

Возникновение электрического тока в проводнике означает появление в нем под действием электрического поля направленного движения электронов (в отдельных случаях дырок), которое называется дрейфом. Среднюю скорость такого дрейфа электронов обозначим через d ( d , где – скорость теплового движения).

Как известно, плотность тока в металле

где n – концентрация электронов проводимости.

Вспомним понятие подвижности носителей заряда – u, чис-

ленно равной дрейфовой скорости, приобретенной носителями заряда в электрическом поле единичной напряженности

В этом случае, объединяя выражения (11.1) и (11.2), получаем закон Ома, записанный в дифференциальной форме:

1

удельное сопротивление материала ( ).

Закон Ома (11.3) с успехом применим как к металлам, так и к полупроводникам и диэлектрикам (у металлов 106 Ом 1 м 1, у диэлектриков 10 8 Ом 1 м 1). Учёт дырочной компоненты тока в случае полупроводников требует записи выражения для в виде

где р – концентрация дырок, un и up – соответственно подвижность электронов и дырок (вообще говоря, они не равны, так, например, в чистом кремнии при Т 300 К подвижность электронов un 1350 см2/В с, а подвижность дырок up 400 см2/В с).

94

В идеальном кристалле (при отсутствии тепловых колебаний кристаллической решетки) носители заряда не встречают сопротивления на своем пути. Наличие электрического сопротивления в реальных материалах является результатом теплового движения атомов («нулевые» колебания всегда имеют место) и следствием образования точечных дефектов кристаллической структуры. На колебаниях и дефектах происходит рассеяние носителей тока.

Зависимость величины плотности тока от внешних факторов (температура, давление и т.д.) определяется, согласно (11.3 и 11.4), их влиянием на концентрацию носителей заряда и подвижность (или дрейфовую скорость).

Согласно классической теории электропроводности металлов (см. материалы 1-го семестра)

где m – масса электрона, – среднее время между столкновениями, – средняя длина свободного пробега электрона и – тепловая скорость. В квантовомеханической теории электропроводности твердых тел соотношение (11.5) также работает, но требует некоторых уточнений.

Во-первых, вместо действительной массы электрона (дырки в полупроводниках р-типа) следует использовать его эффективную массу m*. Во-вторых, вместо среднего времени свободного пробега электрона надо подставлять истинное время и проводить корректное усреднение направленной скорости. Кроме того, для полной остановки ускоренного полем электрона может потребоваться не одно, а в среднем столкновений электрона с рассеивающими центрами.

В результате наше уравнение (11.5) записывается в виде:

где под понимается время релаксации, которое характеризует скорость установления в системе равновесного состояния.

95

Металлы и полупроводники

Смысл входящих в уравнение (11.6) параметров меняется и от характеристик электронного газа: невырожденный (обычный полупроводник) и вырожденный (металл). Для невырожденного газа (отсутствует принцип Паули) , , и получаются усреднением этих величин по всему коллективу. В вырожденном коллективе внешнее электрическое поле может воздействовать только на электроны, находящиеся у уровня Ферми, переводя их на более высокие свободные энергетические состояния. В этом случае вводятся новые параметры: F – средняя длина свободного пробега электронов, обладающих энергией Ферми, F – их средняя скорость, F – среднее число столкновений, уничтожающих скорость в направлении движения.

В результате удельная электропроводность металлов с квантовомеханической точки зрения описывается соотношением

которое, в отличие от классического выражения

позволяет объяснить, почему у металлов 1/Т. Действительно, согласно классической теории электропроводности средняя ско-

рость теплового движения свободных электронов T , и то-

согласно квантовой теории электропроводности F с температурой не меняется, но зато от температуры зависит длина свободного пробега электронов. Чем выше в металле концентрация nФ фононов (но nФ T), тем выше вероятность столкновения с ними электронов и тем меньше длина свободного пробега ( F 1/nФ).

Витоге оказывается, что F 1/Т, и, следовательно, 1/Т. Сказанное касалось температур, близких к комнатным и бо-

лее высоким. С понижением Т, когда концентрация фононов становится очень маленькой, основное значение приобретает

96

рассеяние электронов на точечных дефектах решетки. В этом случае у металлов F const, u const, const.

В обычных полупроводниках (невырожденный электронный газ) в области высоких температур, когда преобладает рассеяние

В области низких температур преобладает рассеяние на ионизованных точечных дефектах. В этом случае у невырож-

денных полупроводников T , а Т 2. Последний вывод качественно понятен, так как чем выше скорость электрона (она растёт с увеличением Т), тем быстрее он проскакивает кулонов-

В качестве параметра, раз-

97

граничивающего область низких и высоких температур, используют характеристическую температуру Дебая ТD, определяемую соотношением kTD ħ D, где D - предельная частота колебаний кристаллической решетки.

Температурная зависимость удельной электропроводности невырожденных полупроводников (11.4) в основном определяется температурной зависимостью концентрации носителей за-

ряда (10.12, 10.13, 10.17, 10.18, 10.19). Поэтому качественно (Т)

иn(T) совпадают: сравните рис. 10.8 и 11.3, где

E

0 – коэффициент, который слабо зависит от температуры; Е – энергия ионизации донора или акцептора, либо ширина запрещенной зоны. По наклону линейных участков рис. 11.3 также можно определять Е.

Термосопротивления (термисторы)

Существенная зависимость удельного сопротивления полупроводников от температуры позволяет использовать их для конструирования термисторов – приборов, предназначенных для точного измерения температуры, мощности инфракрасного излучения (чувствительность до 10 10 Вт) и управления различными технологическими процессами. В отдельных случаях для изготовления термисторов используются и металлы.

98

11.2. Определение концентрации носителей заряда и их подвижности. Эффект Холла

Для определения типа носителей тока, их концентрации и подвижности используют эффект Холла. Эффект Холла заключается в возникновении в проводнике (в нашем случае брусок толщиной b) с током плотностью j, помещенном в магнитном поле с индукцией В, электрического поля в направлении, пер-

При показанном положении образца относительно магнитного поля и предположительно электронном характере электрического тока из-за наличия силы Лоренца

где е – заряд электрона без учета его знака, электроны будут отклоняться к верхней грани и зарядят ее отрицательно. На нижней грани накапливаются нескомпенсированные положительные заряды, между гранями возникает разность потенциалов VХ, получившая название э.д.с. Холла. В возникающем при этом электрическом поле возникает сила, уравновешивающая силу Лоренца:

где E – напряженность этого поля. С учетом того, что E VХ/b, имеем