Lektsii_Fizika_chast_III

вым. В этом шестимерном пространстве каждая частица должна изображаться точкой, которая называется фазовой точкой. С течением времени координаты и импульс частицы будут изменяться, получим цепочку точек или фазовую траекторию.

Вспомним типичные фазовые траектории, которые мы уже обсуждали в прошлом семестре для классических частиц,

рис. 6.5.

Рис. 6.5

В квантовой механике возможны отличия, например, энергия квантового осциллятора квантуется, поэтому для квантового гармонического осциллятора надо рисовать систему эллипсов.

Если перейти к шестимерному пространству, то вероятность обнаружить частицу в элементе объема этого пространства:

dW(x, y, z, px, py, pz) f(x)f(y)f(z) f(px)f(py)f(pz) dxdydzdpxdpydpz, (6.10)

где dФ dxdydzdpxdpydpz – элемент объема шестимерного пространства.

Если частицы равномерно распределены по объему, то, согласно (6.9),

где dФp – элемент объема в пространстве импульсов.

При таких ограничениях, сопоставляя (6.11) и (6.12), имеем

двухкоординатную систему, так как нас не интересует направ-

ление вектора p , а только его величина. Все частицы с импуль-

сами, лежащими в интервале от p до p dp, находятся в шаровом слое с объемом 4 p2dp. Число квантовых состояний для частиц с такими импульсами:

С учетом соотношений (6.13) и (6.14) перепишем уравнение

и подставим полученные выражения в (6.17). В результате имеем

Плотность числа квантовых состояний g(E) определяется выражением

Плотность состояний g(E) – это число квантовых состояний микрочастицы, приходящихся на единичный интервал энергии.

Из уравнения (6.21) и рис. 6.8 следует, что с ростом E плотность состояний увеличивается пропорционально E1/2. Влияет на g(E) масса частицы m и объем пространства V (6.21).

Следует отметить, что полученный результат нуждается в некотором уточнении.

53

Из (6.26) становится понятно, что невырожденное состояние газа можно достигнуть и путем уменьшения концентрации микрочастиц n = N/V.

Молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными. Электронный газ в металлах в реальных условиях

– вырожден. В полупроводниках, где концентрация электронов существенно меньше, чем в металлах, электронный газ – невырожден.

Вопросы для повторения

1.Сформулируйте принцип запрета Паули и продемонстрируйте, как можно использовать этот принцип для построения периодической таблицы элементов.

2.Какое взаимодействие называется спин-орбитальным? В чем заключается его суть?

3.Какие статистические коллективы относятся к «вырожденным», и какие – к «невырожденным»?

4.Какой смысл имеют функции распределения?

5.Какое пространство называется «фазовым»? В чём заключается причина его квантования?

6.Выведите выражение для функции плотности числа энергетических состояний.

7.Каким образом вырожденный коллектив можно перевести в невырожденный?

Литература: [1 – 6, 8, 9]

55

Лекция № 7

7.1. Функция распределения Ферми-Дирака

Рассмотрим идеальный электронный газ (по аналогии мы рассматривали идеальный газ молекул). Для такого коллектива частиц очень важно определить количество частиц dN(E), обладающих энергией в интервале от E до E dE:

где f(E) – функция распределения, которая представляет собой вероятность того, что квантовое состояние в данных условиях занято микрочастицей. Для вырожденного идеального газа фермионов функция распределения была впервые получена Ферми и Дираком, носит их имя и имеет следующий вид:

xединицу при постоянстве энтропии, объема и числа частиц всех

других типов.

Рассмотрим для примера металл, находящийся при температуре T 0 K (рис. 7.1). Металл для свободных электронов представляет собой своеобразный потенциальный ящик, выход из которого требует работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле.

Если бы электроны не подчинялись принципу запрета Паули, то при Т 0 K они бы скопились на дне потенциального ящика. Являясь же фермионами, они последовательно занимают все состояния, начиная с низшего, отвечающего дну ящика.

Если в металле имеется N свободных электронов, то последним заполненным окажется энергетический уровень с номером

56

N/2 (на каждом уровне могут размещаться только два электрона с противоположными спинами). Этот уровень получил название уровень Ферми, а энергия ему соответствующая называется энергией Ферми (EF). Таким образом, в наших условиях энергия Ферми представляет собой максимальную кинетическую энергию EF, которой обладает электрон в металле при Т 0 К.

В схеме, показанной на рис. 7.1 важно договориться о начале отсчета. Иногда за нулевой уровень отсчета энергии принимают энергию покоящегося электрона, вышедшего из металла и находящегося вне его полевого воздействия. Химический потенциалдля вырожденного газа нейтральных частиц положителен и отсчитывается от нулевой точки на шкале энергии вверх. В случае коллектива электронов, который мы рассматриваем, в уравнении (7.2) речь идет об электрохимическом потенциале ЭЛ, который с учетом наличия внутреннего электростатического потенциала принимает отрицательные значения.

Для того чтобы не усложнять ситуацию, в физике твердого тела энергия обычно отсчитывается от дна потенциального ящика, и положительная энергия EF имеет в этом случае смысл химического потенциала. В этом варианте уравнение (7.2) приобретает следующий вид:

При Т 0 К все состояния с энергией E EF0 заняты электронами, а состояния с энергией E EF0 свободны. Другими словами,

что следует и из соотношения (7.3). График функции f(E) для этого случая показан на рис.7.2. Заметим: при E EF0 и Т > 0 функция f(E) ½ независимо от значения температуры. Таким образом, со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого при любой температуре равна ½.

57

При Т > 0 K часть электронов за счет теплового движения сможет перейти в состояния с E EF, и, соответственно, такая же часть состояний, расположенных ниже уровня Ферми, окажется свободной (происходит «размывание» распределения f(E) на глубину kT, заштрихованные площади примерно равны, рис.

7.2).

7.2. Положение уровня Ферми в металле

Рассмотрим положение уровня Ферми в металле в зависимости от параметров электронного газа. При температуре абсолютного нуля общее число N свободных электронов в объеме металла V равно

откуда с учетом f(E) 1 (при T 0 K) и полученного ранее выражения для g(E) вида (6.22) имеем

В конечном итоге получаем

58

где n – концентрация электронов, m* – их эффективная масса. Согласно проведенным оценкам EF kT (так, например, у

EF0(Ag) 5,5 эВ, EF0(Cu) 7,1 эВ, в то время как при T 300 К величина kT составляет всего около 0,025 эB).

В этом плане становится понятным низкий вклад электронного газа в теплоемкость металлов. Причина кроется в принципе Паули, согласно которому электроны не скопились на дне потенциального ящика, а практически непрерывно распределены в широком энергетическом интервале от 0 до EF0. Поскольку EF0 kT, то тепловая энергия способна возбудить только электроны, расположенные на самых верхних уровнях (вблизи EF0). Основной массе электронов переходить некуда, так как более высокие для них энергетические состояния уже заняты электронами. В результате вклад в теплоемкость обеспечивает лишь незначительная часть электронного газа.

ратуры Ферми. В звездной материи TF может достигать миллионов градусов, в металлах имеет порядок 105 К, а в полупроводниках 103 К.

При Т 0 K все состояния с импульсами p pF0 2m EF0 за-

няты электронами, а с p pF0 свободны. Импульс pF0 называется

ферми-импульсом (по аналогии F pF0 m – ферми-скорость).

Представив в импульсном пространстве сферу радиусом pF0 (ферми-сферу), получим изоэнергетическую поверхность, которая отделяет заполненные квантовые состояния от незаполненных. Эта сфера получила название поверхности Ферми.

В общем случае при T 0 К оценить положение EF довольно сложно. Действительно, в выражении (7.5) функция f(E) 1, и оно сводится к расчетам довольно сложного интеграла, прибли-

59