Lektsii_Fizika_chast_III

ющиеся моделью двух металлов; энергетические уровни этих ям заполнены электронами. ЕF – самый верхний из заполненных электронами энергетических уровней потенциальной ямы. Если расстояние между металлами – электродами обозначить буквой l, а поданное на них напряжение – буквой V, то для напряжённости электрического поля в межэлектродном пространстве можно записать выражение

E V/l.

При этом электрический ток, связанный с туннелированием электронов из металла в металл сквозь треугольный потенциальный барьер, описывается формулой

4.3. Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор – частица, совершающая линейные гармонические колебания около положения равновесия.

Пусть такие колебания происходят вдоль U оси х между точками с координатами а и а. В этом случае на частицу действует воз-

вращающая сила

У классического осциллятора нет ограничений на величину энергии. В случае колебания микрочастиц, то есть квантового осциллятора, мы имеем дело со своеобразным потенциальным ящиком с отражающими стенками. В этом случае энергия микрочастиц принимает дискретные значения (т. е. энергия кванту-

30

ется), и из-за туннельного эффекта существует вероятность захода микрочастицы за границы предела а.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид:

Как следует из теории решения дифференциальных уравнений, уравнение (4.6) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения только при дискретных значениях энергии:

Наименьшая энергия Е0 называется нулевой энергией, т.к.

перейти из жидкого в твёрдое агрегатное состояние. Именно это наблюдается в случае гелия, который переходит в жидкое состояние при 4,2 К, а твёрдым при нормальном атмосферном давлении стать не может.

Квантовая механика позволяет рассчитать вероятность переходов между различными состояниями квантовой системы. В частности, для квантового осциллятора оказываются возможными только переходы между соседними энергетическими уровнями ( n 1). Данное условие называется правилом отбора.

31

В общем случае уравнение (4.10) представляет собой известное в математике трехмерное дифференциальное уравнение Гельмгольца, которое можно решить методом разделения переменных. При этом оказывается, что решение имеет следующий вид:

Подробнее решение уравнения (4.9) рассмотрим на практических занятиях*.

Образующиеся обыкновенные дифференциальные уравнения для каждой переменной r, и имеют решения, если энергия электрона, связанного с ядром, принимает дискретные значения

где n 1, 2, 3, ..., а параметры разделения равны q l(l + 1), где l = 0, 1, 2, ..., n 1 и s m2, причём m l, l + 1, ..., 1, 0, 1, ..., l 1, l

(всего 2l + 1 значение). Заметим, что уравнение (4.12) было получено нами ранее на основе теории Бора.

В целом решением уравнения Шредингера в сферической системе координат является волновая функция n, l, m(r, , ), зависящая от квантовых чисел n, l, m и являющаяся произведением трёх функций R(r), ( ) и ( ), каждая из которых зависит лишь от одной переменной. В частности, радиальная функция Rn,l(r) описывается следующей формулой:

Для атома водорода, находящегося в основном состоянии (n 1), g(r) const C, а b имеет смысл радиуса первой боровской орбиты:

4 2

b r1 02 . (4.14) m e

Согласно (2.11) вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV равна

* См. также задачи № 47.1, 47.13 из задачника [5].

33

вается орбитальным), а квантовое число m (магнитное кванто-

вое число) задает величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением в данном случае понимают направление, выделенное путем создания в системе, например, электрического или магнитного поля.

В этом случае величина орбитального момента импульса

Определенному значению энергии Еn могут соответствовать несколько волновых функций, отличающихся значениями квантовых чисел m и l. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных квантовых состояниях. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с одинаковым значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Можно показать, что каждый уровень энергии водородоподобного атома

n 1

имеет вырождение кратности n2, причём n2 (2l 1) .

l 0

В атомной физике применяются условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Так, электрон, находящийся в состоянии с l 0, называют s- электроном, в состоянии с l 1 – p-электроном, с l 2 – d- электроном, с l 3 – f-электроном и т.д. в соответствии с латинским алфавитом. Значение n указывается перед условным обо-

35

значением квантового числа l. Так, например, электрон в состоянии n 4, l 1 обозначается символом 4p. Поскольку l всегда меньше n, то возможны следующие состояния электрона:

n=1: 1s n=2: 2s, 2p

n=3: 3s, 3p, 3d

n=4: 4s, 4p, 4d, 4f и т.д.

нашем случае ( l 1) показывает, что возможны только такие переходы, при которых квантовое число l изменяется на единицу.

Переходы ns 2p, np 2s, nd 2p образуют, известную нам по видимому диапазону спектра излучения атомов водорода, серию Бальмера. Переходы типа np 1s – серию Лаймана и т. д.

36

Вопросы для повторения

1.Объясните, каким образом можно описать туннелирование микрочастиц через потенциальный барьер произвольного профиля.

2.Какие явления объясняются на основе туннельного эффекта?

3.Сформулируйте принципиальные отличия между квантовым

иклассическим гармоническим осцилляторами.

4.Какой атом называется водородоподобным?

5.Дайте характеристику квантовым числам, характеризующим состояния электронов в атоме.

6.Объясните, как возникают линии в спектре атома водорода.

Литература: [1 – 7, 9, 11]

37