Lektsii_Fizika_chast_III

В рамках квантовой механики ситуация изменяется. Запишем уравнение Шредингера для свободной микрочастицы – см. одномерную модель, формулу (2.21) – применительно к микрочастице, находящейся в бесконечно глубоком потенциальном ящике, где U 0 (рис. 3.2, область II):

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

С учётом граничных условий для -функции, согласно которым

Отсюда следует, что Asin(kx)

– при x a (a) Asin(ka) 0. Это означает, что волновое число k может иметь лишь следующие значения:

где n – целое число (n 1, 2, 3, …)*.

Таким образом, волновая функция микрочастицы, заключенной в потенциальный ящик с бесконечно глубокими стенками, описывается формулой:

В качестве примера графики волновых функций и плотности вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от стенок ящика * представлены на рис. 3.3 – 3.5.

* Очевидно A 0 и n 0, так как выполнение этих условий означало бы, что 0 при любых значениях x, то есть частицы в потенциальном ящике нет вовсе.

20

то есть на ширине ящика укладывается целое число полуволн де Бройля (возникает стоячая волна).

При n 1 наиболее вероятным будет пребывание частицы в центре потенциального ящика, при n 2 на расстоянии a/4 от его краёв. При устремлении n к бесконечности мы приближаемся к классическому случаю равной вероятности местонахождения микрочастицы во всех точках внутри ящика.

Рассмотрим теперь энергию микрочастицы с учётом соотношения (3.6):

Таким образом, энергия микрочастицы, помещённой в потенциальную яму, квантуется (принимает дискретный ряд значений). Схема уровней энергии микрочастицы в потенциальном ящике и вид функции * показаны на рис. 3.6. Минимальное значение энергии микрочастицы в потенциальной яме не равно нулю, то есть она находится в постоянном движении.

21

вится бесконечно малым, что будет соответствовать случаю свободной микрочастицы.

Для лёгких частиц, а также для малых областей их локализации (m и a невелики) минимальное значение энергии, которое могут иметь такие частицы, увеличивается, резко растёт и расстояние между соседними уровнями. Этим, в частности, объясняется отсутствие электронов внутри или в непосредственной близости от атомного ядра.

Для нахождения коэффициента A в выражении (3.7) воспользуемся условием нормировки для волновой функции :

Результаты, полученные для одномерного движения, могут быть обобщены для трёхмерного потенциального ящика. Волновая функция в этом случае имеет вид

Энергия микрочастицы в этом случае также квантуется:

Заметим, что современные нанотехнологии используют возможность перехода электронов между энергетическими уровнями квантовых ям для создания разнообразных приборов оптоэлектроники.

3.2. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

Пусть микрочастица, имеющая энергию E, движется в пространстве вдоль оси x, приближаясь к прямоугольному потенци-

23

альному барьеру высотой U, рис. 3.7. При этом возможны два варианта: 1) E < U и 2) E > U. В рамках представлений классической физики в первом случае микрочастица будет только отражаться от барьера, во втором – проходить над ним. Как мы увидим далее, квантовая механика говорит о том, что микрочастица в первом варианте имеет некоторую вероятность зайти в область барьера (переход из области I в область II, рис. 3.7), а во втором

– отразиться от него.

Движение микрочастицы описывается уравнением Шредингера. Запишем его сначала для области I:

жение для двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси x. При этом A1 – амплитуда падающей и B1 – отражённой от барьера волн.

Так как вероятность нахождения микрочастицы в какой-либо точке пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля, то отношение

2

R B1 2 (3.20)

A1

представляет собой коэффициент отражения микрочастицы от потенциального барьера.

24

В области II потенциальная энергия U 0, и уравнение Шредингера приобретает вид:

Таким образом, k1 k2, что указывает на отличие длины волны микрочастицы в первой и второй областях. Переход от одной области к другой можно интерпретировать как проникновение частицы из одной среды в другую, при этом на границе раздела возможны явления отражения и преломления (подобно тому, как это происходит со светом).

В случае, когда E < U, параметр k2 становится мнимым:

но с учётом отсутствия во второй области отражённой волны* (это означает, что B2 0),

В области II волновая функция (3.24) уже не соответствует плоским волнам (показатель степени – действительный). Тем не менее, из условия непрерывности волновой функции вероятность нахождения микрочастицы вблизи границы барьера можно описать как

Общая ситуация показана на рис. 3.8. Микрочастица имеет отличную от нуля вероятность проникнуть внутрь потенциального барьера.

Если рассмотреть случай 2), когда E > U, то, согласно классическим представлениям, отражения на границе раздела не

* Если выражение (3.23) умножить на (t), получим уравнение, описывающее плоскую волну де Бройля.

25

II II*

II

x

Рис. 3.8

будет и должно выполниться условие непрерывности и её первой производной:

Однако, при I A1 eik1 x и II A2 eik2 x причём k1 k2, соотношения (3.26) противоречат друг другу. Условие непрерывно-

сти нарушается: происходит отражение от границы барьера. Принципиальным отличием потенциальной ямы (ящика) ко-

нечной глубины от бесконечно глубокой потенциальной ямы является, таким образом, возможность проникновения микрочастицы на небольшое расстояние за границу барьеров, рис. 3.9,

3.10.

Характерной особенностью этого процесса является просачивание микрочастицы сквозь тонкую потенциальную стенку (квантовомеханический эффект), а не её надбарьерный переход, что можно было бы ожидать из классических соображений.

26

3.3. Туннельный эффект

ЕслиI потенциалII ьныйIIIбарьер толщиной d достаточно узок, то

При данной записи мы учли непрерывность волновой функ-

ции на границе барьера II(d) III(d). В этом случае, подставляяI I* A12, II II*(d) A22e 2kd (см. уравнение 3.25), имеем

где D0 – коэффициент пропорциональности близкий к единице. Поскольку число частиц, падающих на границу барьера,

должно быть равно общему числу отраженных и проникших в

Коэффициент прозрачности, согласно (3.29), сильно зависит от величины параметров m и d, а также от разности U E. Обычно туннельный эффект реализуется для микрочастиц, сталкивающихся с барьером шириной d 0,1 – 0,2 нм (соответствующие расчёты проведём на практических занятиях).

Прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер представляется, на первый взгляд, парадоксальным. Парадокс состоит в том, что частица, которая находится внутри потенциального барьера при полной энергии E, меньшей высоты барьера U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию.

На самом деле парадокса нет, так как туннельный эффект – явление чисто квантовомеханическое. Рассматривать полную энергию как сумму потенциальной и кинетической энергии можно только исходя из классических представлений. Классическая теория подразумевает, что можно одновременно точно определить координату и импульс частицы, в квантовой механике это противоречит принципу неопределённости.

Туннельный эффект играет большую роль в электронике. Примерами его проявления могут служить эмиссия электронов из металла под действием сильного электрического поля, прохождение тока через тонкие диэлектрические слои, пробой p-n– перехода, работа туннельного диода и туннельного микроскопа (основа нанотехнологий), эффект Джозефсона и т. д. К рассмотрению туннельного эффекта мы вернёмся и в ядерной физике.

Вопросы для повторения

1.Получите решение уравнения Шредингера для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.

2.В каких случаях наблюдается квантование энергии микрочастицы?

3.В каких случаях возможно прохождение микрочастицы через потенциальный барьер?

4.Что называется коэффициентом прозрачности потенциального барьера?

5.В чём заключается парадокс туннельного эффекта?

Литература: 1 – 7, 9, 11

28