Lektsii_Fizika_chast_III

женные вычисления которого в области низких температур позволяют оценить EF, как

Графики зависимости f(E) для трех характерных температур Т1, Т2 и Т3 показаны на рисунке (7.4); из графиков следует, что с ростом температуры «ступенька» функции f(E) размывается и смещается влево.

f(E)

1 T 0 К

T1

0,5

Рис. 7.4

При очень высоких температурах, при которых электронный газ становится невырожденным, функция Ферми-Дирака переходит в классическую функцию Максвелла-Больцмана. Действительно, при EF 0 (точнее, при < 0), E EF kT, и

Таким образом, условие невырожденности можно записать в виде f(E) 1.

60

7.3. Распределение Бозе-Эйнштейна

Рассмотрим теперь применение статистики Бозе-Эйнштейна к системе частиц с целым или нулевым спином, то есть к бозо-

нам.

Функция распределения в этом случае (функция БозеЭйнштейна) имеет вид

и соответствует среднему числу частиц, обладающих в данном квантовом состоянии энергией Е.

Вспомним, что бозоны не связаны принципом Паули, и в одном квантовом состоянии может находиться любое число частиц. Химический потенциал , входящий в распределение (7.10), может быть только отрицательным или равным нулю.

E

Действительно, если > 0, то при E 0 выражение e kT 1 и f(E) 0, что лишено физического смысла.

Запишем условие нормировки полной функции распределения Бозе-Эйнштейна:

Из условия (7.12) в принципе находится выражение для .

При этом можно показать, что производная всегда отрица-

T

тельна, то есть возрастает с уменьшением Т, все время оставаясь отрицательной величиной. При T T0 > 0 химический потенциал становится равным нулю. Если понижать температуру при условии T < T0, то, как показывает анализ, для выполнения уравнения (7.12) необходимо, чтобы либо > 0, либо N должно

61

уменьшаться. Поскольку не может принимать положительные значения, а частицы из замкнутой системы уйти не могут, то остается предположить, что при T < T0 бозоны начинают скапливаться на нулевом энергетическом уровне (бозe-конденсация). Таким образом, при T < T0 часть бозе-газа будет «сконденсирована» на уровне с нулевой энергией, а остальные распределятся по другим уровням по закону Бозе-Эйнштейна.

В качестве примера бозе-конденсации смотрите в учебнике описание явления сверхтекучести, которое наблюдается в жид-

ком гелии 42 He при T 2,19 К (эффект обнаружен в 1938 г.).

Фермионы при определенных условиях могут взаимодействовать, объединяясь в группы, являющиеся уже бозонами (переход Бардина-Купера-Шриффера при сверхпроводимости), в этом плане при очень низких температурах Д. Ли, Р. Ричардсон, Д. Ошерофф (США) обнаружили в 1971 году сверхтекучесть в

гелии 23 He (атомы этого изотопа гелия сами по себе являются

фермионами). Данное открытие и исследования этих ученых в этой области отмечены Нобелевской премией 1996 года.

7.4. Фотонный газ

В прошлом семестре мы рассматривали тепловое излучение абсолютно черного тела, моделируемого непрозрачным сосудом с небольшим отверстием, стенки которого имели одинаковую температуру. В основе рассмотрения лежала формула Планка, устанавливающая закон распределения энергии в спектре равновесного излучения при определенной температуре.

С квантовой точки зрения тепловое излучение можно представить как равновесный фотонный бозе-газ, заключенный в моделируемом ранее сосуде. Химический потенциал такого газа равен нулю, и функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид (с учетом E h ):

Подставляя в (6.17) выражения для импульса фотона p h c

с учётом того, что dp hc d , получим число квантовых состоя-

ний в объеме V для фотонов с частотой , d :

В этом случае плотность числа состояния для единицы объема (с учетом, что каждой частоте соответствуют два состояния с разными поляризациями) будет равна:

В результате спектральная плотность объемной плотности энергии излучения абсолютно черного тела (энергия, излучаемая в единице объема и приходящаяся на единичный интервал частот) определяется как

что представляет собой известную формулу Планка. Статистика Бозе-Эйнштейна, как и ожидалось, дает правильный результат.

Вопросы для повторения

1.Какой физический смысл имеет функция распределения Фер- ми-Дирака?

2.Что называется энергией Ферми и уровнем Ферми в металле?

3.От каких параметров зависит положение уровня Ферми в металле?

4.Что называется поверхностью Ферми?

5.Какой физический смысл имеет функция распределения БозеЭйнштейна?

6.Чем обусловлено возникновение явления сверхтекучести?

7.Выведите формулу Планка для спектральной плотности объемной плотности энергии излучения абсолютно черного тела

Литература: [1 – 9]

63

Лекция № 8

8.1. Распределение Максвелла-Больцмана

В случае, если Q >> N, то есть < 0, мы переходим от вырожденного газа к невырожденному.

При условии E >> kT:

Эйнштейна fБ-Э(E) переходит в классическую функцию Максвел- ла-Больцмана fМ-Б(E).

Таким образом, статистика Максвелла-Больцмана, полученная на основе классических представлений, может быть предельным случаем обеих квантовых статистик.

Для получения закона распределения классических частиц по

Рис.8.1

Наибольшую вероятность заполнения имеют состояния с низкими энергиями.

64

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

8.2. Связь атомов в молекулах и кристаллах

1. Химические виды связи:

Ионная связь

Ионный вид связи в большинстве случаев образуется в результате соединения металлов с металлоидами.

Например – NaCl, поваренная соль.

При образовании NaCl атом натрия отдает валентный электрон хлору, в результате чего оба атома приобретают устойчивые внешние электронные оболочки и становятся соответственно положительным и отрицательным ионами. Равновесное состояние такой связи обеспечивается уравниванием кулоновской силы притяжения разноименных ионов силой отталкивания внутренних электронных оболочек, что соответствует минимальной потенциальной энергии системы (см. рис. 8.2).

Металлическая связь

В металлах валентные электроны не локализуются у соседних атомов, а становятся свободными и принадлежат всему кристаллу.

Металлическая связь представляет собой взаимодействие совокупности положительных ионов, окутанных электронным газом, состоящим из коллективизированных валентных электронов.

Помимо химической существует и так называемая физическая или молекулярная связь. Эта связь не связана с обменом электронами, а определяется электростатическими силами притяжения между диполями. Энергия молекулярной связи существенно меньше, чем при химической связи.

2. Физическая связь:

Ориентационная связь

Атомы и молекулы обладают дипольным моментом, что приводит к их взаимодействию.

Индуцированная связь

Появляются наведенные дипольные моменты, притягивающие или отталкивающие атомы в зависимости от мгновенных положений электронов на орбитах.

Дисперсионная связь

При согласованном движении электронов атомы притягиваются.

В реальной ситуации обычно реализуются смешанные виды связей.

8.3. Энергетические уровни молекул. Спектры излучения

Оптические спектры излучения усложняются при объединении атомов в молекулы, то есть изменяется положение энергетических уровней. Связано это с расщеплением энергетических уровней электронов на ряд компонент. Такое расщепление по-

68

нятно с квантовомеханической точки зрения, так как ядра атомов, образующие молекулы, могут различным образом колебаться и вращаться относительно общего центра масс. В первом приближении будем считать отдельные виды молекулярного движения независимыми. Тогда общая энергия E:

E EЭЛ EКОЛ EВР, (8.10)

где EЭЛ, EКОЛ, EВР – соответственно электронная, колебательная и вращательная энергия системы (пренебрегаем кинетической энергией поступательного движения молекул, так как она не проявляется в спектрах излучения).

Согласно нашим предыдущим рассмотрениям энергия квантового гармонического осциллятора квантуется, то есть

где 0, 1, 2, ... .

При больших колебания в молекулах будут негармоническими, формула (8.11) нарушается.

Рассмотрим теперь вращательную энергию молекулы:

где L и J – соответственно момент импульса и момент инерции системы. С учётом условия квантования момента импульса, со-

гласно которому L ћ j( j 1) (здесь j – квантовое число момента импульса, j 0, 1, 2, ... .), имеем:

и т.д.

Общая схема расщепления энергетических уровней молекул показана на рис. 8.4. Создание новых энергетических уровней приводит к появлению дополнительных линий в спектрах поглощения и излучения молекул в сравнении с атомами. Вращательная и колебательная составляющая спектра наблюдается в

69