2.2. Принятие решения в условиях неопределенности состояния окружающей среды

Принятие решений в условиях риска.

Ситуация риска возникает тогда, когда с каждой принимаемой стратегией xXсвязано целое множество возможных результатовs₁, s₂, …, s_n с известными вероятностямиp(x,s),sS={s₁,s₂,…,s_n}. Полезность этого исхода запишем какu(x,s),. Ожидаемую полезность от выбора значенияx(от выбора стратегии x) можно записать

. (1. 4)

Задача принятия решения будет иметь вид .

Принятие решений в условиях неопределенности

Будем считать, что в исследуемой операции множество X конечное, т.е. X={x₁,x₂,…,x_m}, внешняя среда (природа), которая может находиться в одном из состояний sS={s₁,…,s_n} известных ЛПР, но больше ни каких характеристик по исходу этих состояний нет. Как и выше, полезность исхода запишем какu(x,s). Так как множестваX, Sконечные, то задачу принятия решения обычно записывают в виде следующей матрицы U размерностью т  п,I– индекс переменнойx{x₁,x₂,…,x_m},j– индекс переменнойs{s₁,s₂,…,s_n},

j i	1	2	. . . , . . . , j , . . . , . . . ,	n
1	u11	u12	. . . , . . . , u1j . . . , . ,	u1n
2	u21	u22	. . . , . . . , u2j . . . , . . .	u2
…	…	…	…	…
i	ui1	ui2	. . . , . . . , uij . . . , . . . ,	uin
…	…	…	…	…
m	um1	um2	. . . , . . . , umj , .. . , .. ,	umn

В условиях неопределенности считается, что наблюдателю неизвестно распределение вероятностей p(x,s). Относительно состояния среды наблюдатель может высказать определенные гипотезы. Его предположения о вероятном состоянии среды называются субъективными вероятностями. Этот недостаток информации обусловил развитие следующих критериев для анализа ситуации, связанной с принятием решения:

1. Критерий Вальда

2. Критерий Гурвица

3. Критерий Лапласа.

4. Критерии Сэвиджа.

Эти критерии отличаются по степени консерватизма, который проявляет индивидуум, принимающий решение, перед лицом неопределенности.

Критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя).

Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. По данному критерию решающее правило имеет следующий вид:

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

Критерий Гурвица

Рассмотрим два предположения: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 – ) и самом выгодном — с вероятностью , где  коэффициент доверия, 0 ≤  ≤ 1. Решающее правило записывается так:

Если = 0, получаем критерий Вальда.Если = 1, то приходим к решающему правилу вида:

.

Это так называемая стратегия «здорового оптимиста», который верит в удачу.

Критерий Лапласа.

Состояния среды считают равновероятными p(S₁)=p(S₂)=…=p(S_n)=1/n. В результате решающее правило определяется соотношением

Критерий Сэвиджа (критерий минимизации «сожалений»).

«Сожаление» — это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного состояния.

Чтобы определить «сожаление», поступают следующим образом. В исходной матрице в каждом столбце находят максимальный элемент . Из него вычитают элементы этого столбца, получая матрицу «сожалений»

Искомую стратегию x{x₁,x₂,…,x_m},которая минимизирует «сожаление», определяют из условия

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого.

Пример. Некоторая фирма решает построить отель в одном из курортных мест. Необходимо определить наиболее целесообразное количество мест или комнат в этой гостинице. Составляют смету расходов по строительству гостиницы с различным количеством комнат, а также рассчитывают ожидаемый доход в зависимости от количества комнат, которые будут сняты.

В зависимости от принятого решения — количества комнат в гостинице x = 20, 30, 40, 50 и количества снятых комнат S=0, 10, 20, 30, 40, 50, которое зависит от множества случайных факторов и неизвестно фирме, получают следующую таблицу ежегодных прибылей:

Таблица 1.2

j i	1	2	3	4	5	6
1	–121	62	245	245	245	245
2	–168	14	198	380	380	380
3	–216	–33	150	332	515	515
4	–264	–81	101	284	468	650

Определим наиболее подходящее количество комнат в гостинице по выше приведенным критериям.

Критерий Вальда.

, отсюдаi=1,x_опт= x₁=20.

Судя по результатам, критерий Вальда не применим, так как в этом случае от постройки гостиницы следует отказаться.

Критерий Лапласа.

Приведем таблицу вычислений по этому критерию

	j							Место максимума
I	1	2	3	4	5	6
1	–121	62	245	245	245	245	153,5
2	–168	14	198	380	380	380	197,3
3	–216	–33	150	332	515	515	210,5	
4	–264	–81	101	284	468	650	193,0

x_опт= x₃=40.

Критерий Гурвица. Таблицы вычислений по критерию Гурвица будут иметь вид:

	j						максимум в строке	минимум в строке
i	1	2	3	4	5	6
1	–121	62	245	245	245	245	245,0	–121
2	–168	14	198	380	380	380	380,0	–168
3	–216	–33	150	332	515	515	515,0	–216
4	–264	–81	101	284	468	650	650,0	–264

i	максимум в строке	минимум в строке	Взвешенное среднее при различных alfa
			0	0,1	0,2	0,5	0,9	1
1	245	–121	–121	–84,4	–47,8	62	208,4	245
2	380	–168	–168	–113,2	–58,4	106	325,2	380
3	515	–216	–216	–142,9	–69,8	149,5	441,9	515
4	650	–264	–264	–172,6	–81,2	193	558,6	650

Выделенные клетки соответствуют максимуму в столбце.

Тогда оптимальное количество комнат в гостинице в зависимости от 

	0	0,1	0,2	0,5	0,9	1
Хопт	20	20	20	50	50	50

Критерий Сэвиджа. В каждом столбце найдем максимальное значение, получим:

	j
i	1	2	3	4	5	6
1	–121	62	245	245	245	245
2	–168	14	198	380	380	380
3	–216	–33	150	332	515	515
4	–264	–81	101	284	468	650
Максимум в столбце	–121	62	245	380	515	650

Матрица сожалений примет вид:

	j
i	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	135	270	405
2	47	48	47	0	135	270
3	95	95	95	48	0	135
4	143	143	144	96	47	0

Выбирая из нее =135 получим, что количество комнат равно 40.

Таким образом:

по критерию Вальда строить 20 комнат;

по критерию Лапласа строить 40 комнат;

по критерию Гурвица строить 20 комнат , если заказчик – пессимист и 50 комнат, если заказчик оптимист;

по критерию Сэвиджа 40 комнат.

Какое из возможных решений предпочтительнее? Это определяется выбором соответствующего критерия ( Вальда, Лапласа, Гурвица или Сэвиджа).