5. Модели с обратной связью, динамическое проектирование.

Моделируемые системы развиваются во времени, часто приходится принимать решения в условиях неполной информации, в процессе жизни и наблюдения за системой появляется дополнительная информация о ней. Для того, чтобы учесть это, строятся математические модели учитывающие состояние системы на момент проектирования, строятся модели слежения за системой, и корректирующие алгоритмы, позволяющие учтывать ее реальное состояние.

Внедрение. Реализация решения

Решение исследуемой задачи должно было приемлемым для руководства еще до того, как оно будет получено. Поэтому на всех этапах моделирования должно присутствовать лицо, принимающее решение (ЛПР). Часто ЛПР определяет направление исследования, предлагает варианты решения, отбраковывает заведомо ненужные варианты. При моделировании ЛПР должен быть уверен, что при анализе не упущено ни одного заведомо хорошего решения.

2. О принципах принятия решений

Теория принятия решений является фундаментом науки исследования операций. Трудности, возникающие в процессе принятия решений:

1.  Неединственность критериев, которые обычно не согласованы между собой. Например, при проектировании нового устройства часто выдвигается требование максимальной надежности и минимальной стоимости изделия. Эти критерии являются противоречивыми, поэтому возникает задача компромисса между ними;

2.  Высокая степень неопределенности, которая обусловлена недостаточной информацией для обоснованного принятия решений.

Любой процесс принятия решений включает следующие элементы:

• Лицо, принимающее решение.

• Наличие целей, которые должны быть достигнуты.

• Совокупность всех внешних факторов, влияющих на исход решения.

• Наличие альтернативных вариантов достижения целей.

• Исходы решений.

Для принятия решений разрабатываются различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтения, то есть выразить их в количественной форме. Основой таких процедур является теория полезности, родоначальниками которой являются Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном [Нейман]. Ее математическая основа – система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решений. Эта мера называется функцией полезности решений или полезностью.

В зависимости от условий внешней среды и степени информированности лица существует следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях определенности,

б) в условиях риска,

в) в условиях неопределенности,

г) в условиях конфликтных ситуаций или противодействия (активного противника).

2.1. Принятие решений в условиях неопределенности критерия.

Основная трудность – наличие нескольких критериев, среди которых могут быть неформализованные, по которым следует сравнивать исходы. В этом случае возникает задача принятия решений при так называемом «векторном критерии» [1]-[3].

Случай 1 (построение сверток критериев). Пусть имеется совокупность m критериев:

F₁ (x), F₂ (x),…, F_m (x), x  X .

Каждый из этих критериев максимизируемый. Требуется найти решение, которое окажется наилучшим с точки зрения выбираемого критерия. Для принятия решения составляют линейную свертку критериев, получая обобщенный критерий

,

где _i – вес соответствующего критерия, и решают задачу max F₀(x), x  X. Одним из примеров в экономике является критерий приведенных затрат, получающийся из противоречивых между собой критериев капитальных и эксплутационных затрат.

Можно привести еще один способ постороения свертки, обычно применяемый при измерении критериев в различных шкалах. Каждый критерий F_i(x), заменяют на и рассматривают задачу минимизации функционала

, (1.1)

где . Эту задачу можно интерпретировать как минимизацию суммы отклонений критериев от их максимальных значений.

При таком формировании обобщенного критерия может возникнуть несоответствие, связанное с тем, что можно добиться высоких показателей по одним критериям за счет ухудшения показателей по другим критериям. Для ликвидации этих несоответствий вводят дополнительные условия:

F _i (x) ≥F _{i доп}(1.2)

и решают задачу (1.1) при этом ограничении.

Случай 2 (перевод критериев в ранг ограничений).Для всех критериев, кроме одного (например первого) задают их наименьшие допустимые значенияF_{i доп}и решают задачу

max F₁(x) (1. 3)

при ограничениях:

F_i (x) ≥F_{i 2 доп.}, i=1,2,3,…,m.

Случай 3. (аппроксимационно–комбинаторный подход). Предположим, что для всех критериев j=1,2,3,…,n заданы числа R_j, характеризующие наибольшее допустимое отклонение j–го F_j(x) критерия от его оптимального значения F_j^опт , т.е. известно, что решение, подлежащее внедрению должно удовлетворять ограничениям

F_j(x) ≥ F_j^опт– R_j, j=1,2,3,…,n

Выбор решения, подлежащего внедрению, осуществляется из получившегося множества  на основе неформальных критериев, которым владеет лицо, принимающее решение. Этот подход предложен В.Р. Хачатуровым [Хачатур] и успешно применялся для дискретных задач.

Случай 4 (оптимизация по Парето). Пусть все критерии F₁(x), F₂(x), … , F_m(x) минимизируемые, т.е. чем меньше их значение, тем предпочтительнее выбор. На множестве всех допустимых решений X, используя формализованные критерии F₁ (x), F₂ (x), … , F_m (x), xX строится порядок. Наибольшие элементы в смысле этого порядка принимаются за оптимальные. Рассмотрим оптимальность по Парето для случая, когда множество X конечное, т.е. X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}.

Будем говорить, что xX предпочтительнее yX и записывать , если для всехi=1,2,3,…,m выполняется F_i(x)F_i(y), и существуют i, для которых это неравенство строгое. Таким образом, для любых x,yX либо , либо, либо они несравнимы. Наименьший в смысле этого предпочтения элемент является оптимальным по Парето. Напомним, что элемент множестваX называется наименьшим в смысле предпочтения , если не существуетxX, такого, что .

Выбор решения, подлежащего внедрению, осуществляется из множества Парето P на основе неформальных критериев, которым владеет лицо, принимающее решение.

Примеры.

Построение линейной свертки.Для демонстрации построения линейной свертки рассмотрим пример, приведенный в следующей таблице:

		Элементы множества X										Максимальный элемент по критерию
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Критерии	1	2	2	1	4	3	2	3	1	1	4	x4, x10
	2	3	7	3	2	3	3	5	2	3	2	x2
	3	5	5	1	3	6	5	7	4	4	1	x7
	4	7	2	4	5	8	3	6	3	7	5	x5
	5	3	4	7	3	3	4	4	1	5	2	x3

В ней X={x₁, x₂, x₃, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x₁₀}, критерииF₁ (x), F₂ (x), … , F₅ (x).В каждой строке таблицы указаны значения соответствующего критерия. Все критерии максимизируемые.

Максимальные элементы по каждому критерию приведены в крайнем правом столбце.

Зададим коэффициенты свертки, в следующей таблице они справа.

		Элементы множества X										Коэфф. свертки
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Критерии	1	2	2	1	4	3	2	3	1	1	4	0,1
	2	3	7	3	2	3	3	5	2	3	2	0,3
	3	5	5	1	3	6	5	7	4	4	1	0,1
	4	7	2	4	5	8	3	6	3	7	5	0,4
	5	3	4	7	3	3	4	4	1	5	2	0,1

Таблица для свертки критериев имеет вид:

	Элементы множества X
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Линейная свертка (F0(x))	4,7	4	3,4	3,6	5,3	3,2	5,3	2,4	4,7	3,3

Ясно, что F₀(x₅)= F₀(x₇)==5,3, т.е. оптимальными являются элементыx₅,x₇.

Аппроксимационно–комбинаторный подход.

		Элементы множества X										Допустимое отклонение от оптимума	Допустимые решения по критерию
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Критерии	1	2	2	1	4	3	2	3	1	3	4	1	x4, x10, x5, x7, x9
	2	3	7	3	2	3	3	5	2	5	2	2	x7,x2, x7 ,x9
	3	5	5	1	3	6	5	7	4	7	1	1	x5, x7, x9
	4	7	2	4	5	8	3	7	3	7	5	1	x5,x9 , x7
	5	3	4	7	3	3	4	7	1	5	2	2	x3,x7,x9

Множество допустимых решений одновременно по всем критериям {x₇,x₉}. Среди эти решений ЛПР произведет окончательный выбор.

Оптимизация по Парето

Рассмотрим пример, приведенный в следующей таблице:

		Элементы множества X
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
Критерии	1	2	2	1	4	3	2	3	1	1	2
	2	3	3	3	2	3	3	5	2	3	1
	3	5	5	1	3	6	5	1	2	4	1
	4	7	2	4	5	8	3	6	2	1	1
	5	3	4	2	3	3	4	4	1	2	1

В ней X={x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x₁₀}, критерииF₁ (x), F₂ (x), … , F₅ (x).В каждой строке таблицы указаны значения соответствующей функции. В ней,x₈иx₁₀несравнимы между собой, они также являются оптимальными по Парето, так как не существует элементов, предпочтительнее, чем они.