Задачник Горбатый Овчинников

10. Вблизи незаряженного стеклянного шара поместили

положительный точечный заряд q. Через какие замкнутые поверхности (рис. 6.3) поток

напряженности электрического поля вблизи границы в первом и втором диэлектриках, E1n

13. Точки 1 и 2 примыкают к границе раздела двух диэлектриков и расположены по

разные стороны от нее. Вектор индукции D1 электрического поля в точке 1 показан на

рис. 6.5 сплошной стрелкой. Укажите вектор индукции D2 в точке 2 (штриховые стрелки),

если на границе раздела отсутствуют сторонние заряды.

14. В однородном изотропном диэлектрике проницаемости объемные плотности сторонних и связанных зарядов удовлетворяют уравнениям:

15. В однородном изотропном диэлектрике проницаемости объемные плотности сторонних и связанных зарядов связаны соотношением:

А) ст св ( 1) /

Б) св ст ( 1) /

16. В изотропном диэлектрике объемная плотность связанного заряда отлична от нуля, если:

43

17. В таблице приведены формулы, некоторые из которых далее будут

использованы при решении задач. Укажите ошибочные формулы.

Задачи

Теорема Гаусса для вектора D .

Поверхностный связанный заряд

6.1. Точечный заряд q находится в центре сферической полости радиуса R в толще однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Внутри полости вакуум.

Определите:

а) модуль E вектора напряженности как функцию расстояния r от центра полости (постройте график зависимости E(r) );

б) связанный заряд и его поверхностную плотность на поверхности полости.

6.2. Металлическому шарику сообщили заряд q = 10 нКл и поместили в сосуд с керосином. Пренебрегая влиянием стенок сосуда (они расположены далеко от

44

шарика), определите величину связанного заряда у поверхности шарика.

векторов напряженности в точках 1 и 2 на направление нормали n , а

- поверхностная плотность заряда (связанного и стороннего) на границе раздела вблизи точек 1 и 2.

6.4. Докажите, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов ' ( 1) / , где - диэлектрическая проницаемость,

- поверхностная плотность зарядов на проводнике.

6.5.Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика. Внутренний и внешний радиусы слоя равны r1 и r2, проницаемость диэлектрика , внутри и вне слоя вакуум. Определите:

а) модуль E вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра слоя

(постройте график зависимости E(r) );

б) связанные заряды q1' и q2 ' на внутренней и внешней поверхностях слоя.

6.6.Точечный заряд q находится в центре диэлектрического шара радиуса a с

проницаемостью 1 . Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью

2 . Найдите поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.

6.7.Бесконечно длинная прямая нить заряжена однородно с линейной плотностью и

помещена на оси бесконечно длинного полого цилиндра из однородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого . Внутренний и внешний радиусы этого цилиндрического слоя равны r1 и r2. Внутри полости и вне цилиндра диэлектрическая проницаемость равна 1. Определите:

а) модуль E вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от нити

45

(постройте график зависимости E(r) );

плотностью , расположена параллельно ей бесконечная пластина толщины d из однородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого . Плоскость и пластина находятся в вакууме. Определите:

а) модуль E вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от плоскости

(постройте график зависимости E(r) );

б) связанные заряды 1' и 2 ' на поверхностях пластины, приходящиеся на единицу ее площади.

Граничные условия

6.9.Точка 1 расположена в диэлектрике проницаемости 1 очень близко к границе раздела с другим диэлектриком, проницаемость которого 2. В точке 1 вектор напряженности составляет угол = 600 с нормалью к границе раздела, а модуль

этого вектора E1 = 1000 В/м. Считая, что на границе раздела отсутствуют сторонние заряды, определите величину поверхностной плотности связанных зарядов вблизи точки 1.

6.10. Точки 1 и 2 расположены очень близко друг к другу по разные стороны от границы раздела двух диэлектриков: точка 1 – в диэлектрике проницаемости 1,

точка 2 – в диэлектрике проницаемости 2. В точке 1 модуль вектора напряженности равен E1, а в 2 модуль напряженности E2. Считая, что на границе раздела отсутствуют сторонние заряды, определите поверхностную плотность

Рис. 6.7

находится в вакууме, найдите модуль E напряженности поля внутри пластины вдали от ее краев.

46

Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Объемная плотность связанного заряда

6.12. Докажите, что объемные плотности связанного ' и стороннего зарядов в каждой точке однородного изотропного диэлектрика проницаемости связаны соотношением ' ( 1) / .

6.13. В некоторой области однородного изотропного диэлектрика проницаемости

напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной

заряда в данной области. Проницаемость диэлектрика равна .

Заряженные диэлектрики

6.15. Точечный заряд находится в центре заряженного по объему шарового слоя из однородного изотропного диэлектрика. Внутренний и внешний радиусы слоя r1 и

шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Шар

находится в вакууме. Найдите:

а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра шара (изобразите примерный график зависимости E(r) );

б) поверхностную и объемную плотности связанных зарядов.

47

6.17. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью > 0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Шар находится в однородном диэлектрике проницаемости /2. Определите:

а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра шара (изобразите примерный график зависимости E(r) );

б) поверхностную и объемную плотности связанных зарядов.

6.18. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью > 0 по шару радиуса R из изотропного диэлектрика, проницаемость которого зависит от расстояния r до центра шара по закону r , где и - постоянные. Шар

находится в вакууме. Определите:

а) модуль напряженности электрического поля внутри шара как функцию расстояния r от его центра;

б) поверхностную плотность связанных зарядов.

6.19. Однородный изотропный диэлектрик имеет вид шарового слоя радиусов a и b,

причем a b . Изобразите примерный график зависимости модуля напряженности электрического поля от расстояния r от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный однородно:

а) по внутренней поверхности слоя;

б) по объему слоя.

6.20. Бесконечно большая пластина из однородного изотропного диэлектрика проницаемости заряжена однородно сторонним зарядом с объемной плотностью

. Пластина находится в вакууме, ее толщина 2d. Найдите:

а) модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния x от середины пластины, взяв ось X перпендикулярно пластине, изобразите

примерный график зависимости проекции Ex (x) ;

б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

48

6.21. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью > 0 по бесконечно большой пластине толщиной 2d из изотропного диэлектрика,

проницаемость которого зависит от координаты x по закону 2 (x / d)2 (ось x

перпендикулярна пластине, x = 0 в середине пластины). Считая, что пластина находится в вакууме, определите:

а) модуль вектора напряженности внутри пластины как функцию координаты x;

б) поверхностную плотность связанного заряда на поверхности пластины.

6.22. Сторонние заряды однородно распределены с объемной плотностью > 0 по

постоянные. Цилиндр находится в вакууме. Пренебрегая краевыми эффектами,

определите:

Сила взаимодействия

6.23. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины в одной точке. При заполнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найдите плотность материала шарика.

6.24. Вдали от точечного заряда Q расположена тонкая диэлектрическая пластинка площади S, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния l между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд.

Толщина пластинки d, диэлектрическая проницаемость . Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду.

49

7. Электроемкость

Вопросы

1. Если заряд уединенного заряженного проводника, расположенного в некоторой непроводящей среде, увеличить в 2 раза, то:

А) поверхностная плотность заряда в каждой точке поверхности проводника увеличится в 2

раза

Б) вектор напряженности электрического поля и потенциал3 в каждой точке среды увеличатся в

2 раза

В) потенциал проводника увеличится в 2 раза

2. Электроемкость уединенного проводника зависит от:

А) формы проводника

Б) диэлектрической проницаемости среды

В) заряда проводника

3. Емкость уединенного металлического шара радиуса R в вакууме равна:

3 При рассмотрении заряженных тел и систем тел конечных размеров принято, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю

50