Задачник Горбатый Овчинников
.pdf
1.26.На тонкий прямой стержень длины l нанесен однородно положительный заряд q. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в точке, лежащей вне стержня на его оси на расстоянии r от ближайшего конца стержня. Исследуйте полученное выражение при r >> l.
1.27.Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью 0 (x / l)2 , где l - длина стержня, x - расстояние от конца стержня, 0 – положительная
постоянная. Найдите модуль E напряженности электрического поля в точке, где
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
1.28. Однородно заряженная нить, на единицу |
|
|
|
|||
длины |
которой |
приходится |
положительный |
|
O |
O |
заряд , |
имеет закругленный участок. Радиус |
a) |
б) |
|||
|
|
|
||||
закругления R значительно меньше длины нити. |
|
O |
O |
|||
|
|
|
||||
Найдите |
модуль |
Е вектора |
напряженности |
в) |
г) |
|
|
|
|
||||
электрического поля в точке O для |
Рис. 1.7 |
|
|
конфигураций, показанных на рис. 1.7. |
|
1.29.Длинная прямая однородно заряженная нить имеет заряд на единицу длины. Найдите модуль E и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
1.30.Одна половина тонкого длинного прямого стержня имеет положительный
заряд с линейной плотностью , а другая половина – отрицательный заряд с линейной плотностью – . На перпендикуляре к оси стержня, восстановленном из его середины, на расстоянии y от стержня находится положительный точечный заряд Q. Определите силу, с которой стержень действует на точечный заряд.
1.31.Полубесконечный цилиндр круглого сечения радиуса R заряжен однородно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд > 0. Найдите напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.
1.32.На тонкий прямой стержень длины 2a нанесен однородно положительный заряд q. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня до точки прямой, перпендикулярной
стержню и проходящей через его центр. Исследуйте полученное выражение при
r a .
1.33. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в центре квадратной рамки, если три стороны рамки однородно заряжены с линейной плотностью , а четвертая сторона не заряжена. Длина стороны квадрата a .
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.34. |
Найдите |
напряженность |
E |
электрического |
поля, |
созданного |
отрезком |
||||
тонкой, однородно заряженной с линейной плотностью нити в точке |
|||||||||||
наблюдения x = 0, y = 0 |
(рис. 1.8). Углы 1, |
2 |
и |
Y |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расстояние r |
известны. |
Рассмотрите, кроме |
того, |
r |
|||||||
2 |
|
||||||||||
предельные случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ex |
0 |
1 |
|
||||
а) 1 = 0, 2 = ; |
б) 1 = 0, 2 |
= /2. |
|
|
|
X |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
12
|
2. Теорема Гаусса |
|
|
|
|
Вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите величину потока однородного электрического поля |
E |
|
c |
|
|
|
|
|
|
через поверхность, составленную из двух прямоугольников (рис. 2.1), |
E |
|
||
|
|
|
b |
|
если известны величины a, b, c, , E . |
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
a |
|
А) |
| | | abEsin bcEcos | |
|
Рис. 2.1 |
|
Б) |
| | | abEsin bcEcos | |
|
|
|
В) | | | abEcos bcEsin | |
|
|
|
|
2. На рис. 2.2 изображены однородно заряженное тело A и три |
|
|
||||||
воображаемые сферические поверхности. Считая, что заряд тела |
A |
1 |
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положителен, укажите правильное соотношение между потоками Ф1, |
Ф2, |
2 |
3 |
|||||
Ф3 вектора напряженности через эти поверхности. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А) |
Ф1 |
= Ф2 |
> Ф3 |
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б) |
Ф1 |
= Ф2 |
< Ф3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В) |
Ф1 > Ф2 > Ф3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г) |
Ф1 |
= Ф2 |
= Ф3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. На рис. 2.3 изображены воображаемая замкнутая поверхность в виде цилиндра и два точечных заряда q1 и q2, один из которых находится внутри цилиндра. Определите поток Ф0 вектора напряженности поля этих зарядов через боковую поверхность цилиндра, если потоки через его основания равны Ф1 и Ф2.
А) |
0 |
0 |
Б) |
0 |
q2 / 0 |
|
|
|
В) |
0 (q2 / 0 ) 1 2 |
|
|
|
|
Г) |
0 |
1 2 |
|
|
|
4. На рис. 2.4 изображен плоский лист бумаги P, по которому однородно распределен заряд Q, и воображаемая замкнутая поверхность в виде прямого цилиндра, перпендикулярного плоскости листа Найдите поток вектора напряженности через эту замкнутую поверхность, если площадь листа S, радиус цилиндра R.
13
q1 
q2
Рис. 2.3
P
Рис. 2.4
5. Укажите ошибочные утверждения, относящиеся к теореме Гаусса
|
E cos dS Qвну тр / 0 |
|
|
S |
: |
|
|
|
А) |
S – произвольная замкнутая поверхность |
|
|
|
|
Б) |
Qвну тр |
|
|
- алгебраическая сумма зарядов, которые охватываются поверхностью S |
|
|
|
|
В) |
E - электрическое поле, созданное зарядами, расположенными внутри |
|
|
поверхности S |
|
|
|
|
Г) |
- угол между вектором нормали к поверхности и вектором напряженности |
|
|
поля в данной точке поверхности |
|
|
|
|
Д) |
теорема Гаусса справедлива только для неподвижных зарядов |
|
|
|
|
Е) |
теорема Гаусса справедлива только для точечных зарядов |
|
|
|
|
6. На каком рисунке (рис. 2.5) изображен график зависимости модуля E вектора напряженности электрического поля, созданного однородно заряженной по поверхности сферой, от расстояния r до центра сферы?
E
E 
E
E
0 |
r 0 |
r |
0 |
r 0 |
r |
|
А) |
Б) |
В) |
|
Г) |
Рис. 2.5
7. Две однородно заряженные сферы имеют общий центр. Их радиусы равны R и
3R, а заряды соответственно 3Q и (–2Q). Найдите модуль вектора напряженности на расстоянии 2R от центра сфер.
8. Теорему Гаусса можно записать в дифференциальном виде (укажите ошибочную формулу):
А) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В) |
|
|
2 Ey |
|
|
|
|
|
|
divE / 0 |
|
|
|
|
2 E |
x |
|
2 E |
z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
z 2 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б) |
E |
|
|
Ey |
|
|
|
|
|
Г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
E |
z |
|
E / |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
y |
|
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
9. Укажите ошибочное утверждение, относящееся к теореме Гаусса.
А) |
Теорема |
|
Гаусса в дифференциальной форме представляет собой уравнение, |
||||||||
|
которое позволяет рассчитать электрическое поле в заданной области |
||||||||||
|
пространства, если известны распределение зарядов в этой области и значения |
||||||||||
|
вектора напряженности на ее границе |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
Б) |
Теорема |
|
Гаусса математически выражается лишь одним уравнением, которого, |
||||||||
|
вообще |
говоря, |
не |
достаточно для вычисления трех неизвестных функций |
|||||||
|
E |
x |
(x, y, z) |
, |
Ey (x, y, z) |
и |
E |
z |
(x, y, z) |
– проекций вектора напряженности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
В) |
Теорема |
|
Гаусса в электростатике выводится из закона Кулона, однако, эта |
||||||||
|
теорема, как показывает опыт, справедлива и в тех случаях, когда закон Кулона |
||||||||||
|
не применим. Поэтому теорема Гаусса является самостоятельным законом |
||||||||||
|
электродинамики |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
Поток вектора напряженности и теорема Гаусса
2.1.Два точечных заряда q и –q расположены на расстоянии 2l друг от друга. Найдите поток вектора напряженности через круг радиуса R, плоскость которого перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей заряды, и проходит через его середину.
2.2.Найдите поток вектора напряженности через круг радиуса R, плоскость которого перпендикулярна длинной однородно заряженной с линейной плотностью
нити, упирающейся одним из концов в центр круга.
2.3.Точечный заряд q расположен в центре куба. Найдите поток вектора напряженности через одну грань куба.
2.4.Точечный заряд q расположен в одной из вершин куба. Найдите поток вектора напряженности через каждую грань куба.
Электрическое поле заряженной сферы
2.5. По поверхности сферы радиуса R однородно распределен заряд q. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне сферы и
15
внутри нее. Полученный результат представьте на графике Er (r) , где Er - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра сферы.
2.6. Какой максимальный заряд Q можно сообщить металлическому шарику диаметром d = 10 см, находящемуся в сухом воздухе вдали от других тел? Пробой сухого воздуха происходит при напряженности электрического поля E0 = 30 кВ/см.
2.7. Сфера и кольцо однородно заряжены: сфера – зарядом q, кольцо – зарядом Q.
Радиус кольца R больше радиуса сферы, а плоскость кольца перпендикулярна прямой,
проходящей через центры сферы и кольца. Определите модуль F силы, действующей на кольцо со стороны сферы, если расстояние между их центрами равно l.
2.8. Две однородно заряженные сферы имеют общий центр (концентрические сферы).
Их радиусы равны R и 3R, а заряды соответственно 3q и –q. Найдите модуль Е вектора напряженности электрического поля в точках, удаленных на расстояние r от центра сфер.
Постройте график зависимости Е(r).
2.9.В сфере, заряженной однородно с поверхностной плотностью , сделано малое отверстие. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля в центре этого отверстия.
2.10.В сфере, заряженной однородно с поверхностной плотностью , сделано малое
отверстие площади S. Найдите вектор E напряженности внутри сферы в точке, положение
которой относительно отверстия определяется вектором r |
|
. Величина | r | значительно |
|
превышает размеры отверстия. |
|
2.11. По сфере радиуса R однородно распределен заряд Q. Найдите силу, действующую на единицу площади поверхности сферы, обусловленную электростатическим взаимодействием.
Электрическое поле заряженного шара
2.12. По объему шара радиуса R однородно распределен заряд q. Определите напряженность электрического поля в произвольной точке пространства вне шара и внутри него1. Полученный результат представьте на графике Er (r) , где Er - проекция вектора напряженности на ось r, проведенную из центра шара.
1 При решении задач этого раздела влиянием вещества на электрическое поле пренебречь
16
2.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстояния r до его центра как r , где – постоянная. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r .
2.14. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстояния r до его центра как / r , где – постоянная. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r .
2.15. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит от расстояния r до его центра как 0 (1 r / R) , где 0 – постоянная. Найдите модуль E
вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию r.
2.16. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R1 и
R2 (R1 < R2), заряжено с объемной плотностью / r 2 , где – постоянная, r – расстояние до центра сфер. Найдите зависимость модуля E вектора напряженности от r.
2.17. Некоторая система заряжена сферически симметрично с объемной плотностью
заряда 0 exp( r3) , где 0 и - положительные постоянные, r – расстояние до центра системы. Определите зависимость модуля E вектора напряженности электрического поля от расстояния r. Постройте график этой зависимости.
2.18.По объему шара радиуса R однородно распределен положительный заряд Q, а по его поверхности также однородно распределен заряд –Q/2. Найдите модуль E вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r до его центра.
2.19.Шар радиусом R имеет заряд Q, однородно распределенный по его объему. Шар окружает среда, имеющая объемную плотность электрического заряда, зависящую от
расстояния r до центра шара по закону Q /(2 R2r) . Определите зависимость модуля E
вектора напряженности электрического поля от расстояния r. Постройте график этой зависимости.
2.20. Шар заряжен однородно с объемной плотностью . В шаре сделана сферическая
полость, положение центра которой определяется радиус-вектором b , проведенным из
центра шара в центр полости. Найдите поле E в полости.
2.21. Найдите среднюю объемную плотность зарядов атмосферного электричества, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли E1 = 100 В/м, а
на высоте Н = 1,5 км напряженность падает до величины Е2 = 25 B/м. Радиус Земли
R = 6370 км. Земля заряжена отрицательно, а атмосфера положительно.
17
Электрическое поле заряженной плоскости
2.22. Используя теорему Гаусса, покажите, что в любой точке поля, созданного бесконечной плоскостью, заряженной однородно с плотностью , величина напряженности электрического поля вычисляется по формуле E / 2 0 . Введите ось Х
перпендикулярно заряженной плоскости с началом отсчета на плоскости. Изобразите график Ex(x).
2.23. Три однородно заряженные тонкие пластины расположены параллельно друг другу.
Площадь каждой пластины S, заряды пластин 2q, –2q и –q (рис. 2.6), |
2q |
–2q |
–q |
|
расстояние между пластинами d значительно меньше их продольных |
|
|
|
|
размеров. Определите напряженность электрического поля между |
0 |
d |
2d |
Х |
пластинами, постройте график зависимости Ex (x) , где ось X
Рис. 2.6
перпендикулярна пластинам. Какая сила F действует на среднюю пластину со стороны крайних?
Электрическое поле заряженной пластины
2.24. Область пространства, ограниченная двумя параллельными друг другу бесконечными плоскостями, расположенными на расстоянии 2а друг от друга, заряжена однородно по объему с плотностью . Ось X перпендикулярна этим плоскостям, начало координат (x = 0) находится посередине между плоскостями. Найдите зависимость от x
проекции Ex вектора напряженности. Постройте график этой зависимости.
2.25. Пространство между двумя плоскостями, отстоящими друг от друга на расстояние
2a, заполнено зарядом, объемная плотность которого зависит от координаты x оси,
перпендикулярной этим плоскостям, как | x | , где - постоянная. Начало координат
(x = 0) находится посередине между этими плоскостями. Найдите зависимость от x
проекции Ex вектора напряженности. Постройте график этой зависимости.
Электрическое поле заряженных нити и цилиндра
2.26. Прямолинейная бесконечная нить заряжена однородно с линейной плотностью .
Опираясь на электростатическую теорему Гаусса, определите модуль E вектора напряженности в зависимости от расстояния r до нити.
18
2.27.Две скрещивающиеся взаимно перпендикулярные нити бесконечной длины заряжены однородно с линейной плотностью . Найдите величину F силы их взаимодействия.
2.28.Поверхность бесконечно длинного кругового прямого цилиндра радиуса R заряжена однородно с линейной плотностью . Определите напряженность электрического поля
внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике E(r) , где E -
модуль вектора напряженности, r – расстояние до оси цилиндра.
2.29.Два длинных полых цилиндра имеют общую ось (коаксиальные цилиндры) и
однородно заряжены. Радиусы цилиндров равны R и 2R, а поверхностные плотности заряда соответственно 3 и – . Найдите модуль Е вектора напряженности электрического поля в точках, удаленных на расстояние r от оси цилиндров. Постройте график зависимости Е(r).
2.30.Область внутри бесконечно длинного кругового прямого цилиндра радиуса R
заряжена однородно с объемной плотностью . Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике E(r) , где E - модуль вектора напряженности, r – расстояние до оси цилиндра.
2.31. Внутри кругового цилиндра, заряженного однородно с объемной плотностью ,
имеется круговая цилиндрическая полость, причем оси полости и цилиндра параллельны.
Положение оси полости определяется вектором a , проведенным от оси цилиндра к оси
полости перпендикулярно осям. Считая цилиндр и полость очень длинными, найдите поле
E в полости. |
|
|
|
|
|
|
2.32. |
Пространство между двумя коаксиальными длинными цилиндрами радиусами R1 и |
|||||
R2 ( |
R R |
|
|
|
b / r 2 |
|
1 2 ) заполнено электрическим зарядом с объемной плотностью |
|
, где b – |
||||
постоянная, r – расстояние до оси цилиндров. Определите зависимость от r |
величины E |
|||||
напряженности электрического поля. |
|
|
|
|||
|
|
|
Теорема Гаусса в локальной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.33. |
Вычислите дивергенцию напряженности E электрического поля точечного заряда в |
|||||
произвольной точке пространства в декартовой системе координат. |
|
|
|
|||
2.34. В некоторой области вектор напряженности электрического |
поля |
зависит от |
||||
|
|
|
|
|
|
|
координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону E (xex yey zez ) , где - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
известная постоянная, ex , |
e y |
и ez - орты осей. Определите объемную плотность заряда |
||||
в данной области.
19
2.35. В некоторой |
области |
вектор напряженности электрического |
поля |
зависит |
от |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону |
E 2axyex ax |
|
ey bz |
ez |
, |
где |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a и b – постоянные, ex , e y |
и ez |
- орты осей. Определите объемную плотность заряда в |
||||||||||
точке с координатами x y z c .
2.36. В некоторой области объемная плотность заряда = const. Известны проекции
вектора напряженности электрического поля на оси |
X и |
Y прямоугольной |
|
системы |
|||||||||||||||||||
координат: |
E |
x |
x / 2 |
0 , |
Ey 0 |
. Определите проекцию Ez |
вектора напряженности на ось Z. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.37. Поле вектора |
E , |
направленного |
параллельно оси |
X, задано выражениями: |
|||||||||||||||||||
Ex 0 x / 0 |
при |
0 x a ; |
Ex 0a / 0 |
при |
x a , где |
0 |
и |
a – известные |
постоянные. |
||||||||||||||
Определите объемную плотность (x) |
заряда в произвольной точке пространства. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 0 r R ; |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
2.38. Поле вектора E задано выражениями: |
E ( 0 / 2 0 )r |
E ( 0R |
|
|
/ 2 0r |
|
)r |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при r R , где r |
xex |
yey - полярный вектор, |
проведенный от оси Z в точку наблюдения, |
||||||||||||||||||||
0 |
и R – известные постоянные. Определите объемную плотность |
(r) |
заряда |
|
в |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
произвольной точке пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 0 r R ; |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2.39. Поле вектора E |
задано выражениями: E ( 0 / 3 0 )r |
E |
( 0R |
|
/ 3 0r |
|
)r |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
r R , |
где |
r xex |
yey |
zez |
- радиус вектор, 0 |
и |
R – известные |
постоянные. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Определите объемную плотность (r) |
заряда в произвольной точке пространства. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Нетрадиционное использование теоремы Гаусса
2.40. Неподвижные точечные заряды +q и –2q расположены на |
|
|
||
оси X. Некоторая силовая линий исходит из заряда +q под углом |
|
|
||
|
|
|
||
к оси X. Определите угол , который составляет эта силовая линия с +q |
|
–2q X |
||
осью X вблизи заряда –2q (рис. 2.7). |
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
|
||
2.41. На рис. 2.8 |
изображена картина |
силовых линий |
|
|
электрического поля |
точечного заряда q, |
расположенного в |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
однородном электрическом поле E0 (направления линий на рис. не |
|
|
||
указаны). Определите максимальный диаметр d «трубки» силовых |
|
Рис. 2.8 |
||
линий, которые начинаются на заряде q. |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|