- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 25. Стационарное состояние различных систем
Задача на собственные функции и собственные значения для оператора :
(25.1)
Волновое уравнение:
(25.2)
Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим, которая определяет состояние системы.
Собственные функции задачи (25.1) и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:
, тогда . Это условие совместности решений (25.1) и (25.2).
Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (25.1) и (25.2).
Рассмотрим стационарную задачу , тогдане зависит от времени. Это либо:
Замкнутая система.
Система в стационарном внешнем поле.
Используя (25.1) и (25.2), получим
Это дифференциальное уравнение имеет решение
Подставим эту функцию в (25.1), тогда
.
Тогда получим
Получили стационарное уравнение Шредингера.
§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
Для свободной материальной точки .
, тогда переходим к стационарному уравнению Шредингера.
Это трехмерная задача
Оператор Лапласа
Оператор представим в виде суммы трех независимых операторов, которые коммутируют. В этом случае можно разделить переменные.
Тогда стационарное уравнение Шредингера запишется в виде
,
где
Для имеем
.
Обозначим
.
Тогда
Решение этого уравнения
Так как частица свободная, то импульс этой частицы сохраняется. Значит, сохраняется направление движения частицы.
Мы выбираем движение частицы по направлению оси x.Тогда в силу сохранения импульса имеем.
Для трехмерного случая
Полная волновая функция
(26.1)
Рассмотрим теперь коммутатор
Так как импульс коммутирует с и не зависит явно от времени, тогда. Из этого следует:
-интеграл движения.
Собственная функция оператора импульса является решением волнового уравнения.
Найдем собственные значения оператора импульса.
{используем, что, т. е.} =
=.
Тогда собственное значение оператора :
Это первое дебройлевское соотношение.
Из (26.1) вводится - второе дебройлевское соотношение.
Используем, что
Уравнение (26.1) удовлетворяет собственной функции оператора импульса.
§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
Интересующее нас решение ищем на отрезке
.
Поскольку в точках x=0 иx=aпотенциальная энергия частица обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы областиравна нулю. Оказавшись в этой области частица все время будет находиться в ней. Из определения волновой функции следует
где в.ф. удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера
совпадающему с определением оператора , т.е. функцияесть собственная функция этого оператора, соответствующая собственному значению Е. Из сказанного вытекают граничные условия, накладываемые на решение уравнения.
Таким образом, приходим к задаче
От сюда следует:
(*)
Положительность собственного значения Е оператора вытекает из положительности. Решение уравнения (*) представимо в виде супепозиции двух элементарных сосотояний, которые на языкеинтерпритируются как волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях осиx:
Подстановка решения в граничные условия приводит к системе однородных уравнений
(**)
Для неизвестных коэффициентов С+/_. Критерий существования нетривиального решения данной системы
дает условие квантования
собственного значения Е. Это означает, что обладает дискретным спектром. Вводя согласно (**) обозначения
где С- неизвестная пока вещественная (в силу наличия у в.ф. произвольного фазового множителя) константа, для искомой в.ф. будем иметь
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
От сюда, интегрируя, получаем
Подставляя найденное значение константы, запишем решение задачи в окончательной форме