- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
1. Доказать соотношение:
2. В состоянии частицы с волновой функцией , где,,a-вещественные параметры, найти распределение вероятностей различных значений координаты. Определить средние значения координаты и импульсачастицы, а также средние значения их квадратов,. Показать, что такая в.ф. минимизирует соотношение неопределённостей: . Состояния, минимизирующие соотношение неопределённостей, называются когерентными.
3. Найти собственные функции и собственные значения физической величины, представляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты частицы:. Убедиться в ортогональности полученных функций и нормировать их соответствующим образом.
4.Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в-потенциале,. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях. Вычислить произведение неопределенностей координаты и импульса. Каков вид волновой функции в импульсном представлении?
5. Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы
6. Найти значения энергий, при которых частицы не отражаются от потенциального барьера вида.
7.Для частицы в периодическом потенциале вида(идеальный бесконечный «кристалл», см. рис. 1) найти систему независимых решений уравнения Шрёдингера для произвольного значенияE. Определить энергетический спектр частицы.
8.Найти сдвиг в слабом электрическом поле и поляризуемость основного уровня
заряженной частицы в одномерном -потенциале.
9.1) Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц. Обсудить случаи бозонных и фермионных операторов. 2) Показать, что применительно к линейному осциллятору собственные функции оператораописывают когерентные состояния.
10.Состояние свободной частицы при t = 0 описывается волновой функцией
Найти изменение во времени и следующие средние: .
11. Найти унитарный оператор, соответствующий преобразованию Галилея, т.е. переходу в новую инерциальную системы отсчета. Убедиться в инвариантности уравнения Шрёдингера относительно этого преобразования. Как при этом преобразуется волновая функция частицы в координатном и импульсном представлениях?
12.Найти унитарный оператор, соответствующий калибровочному преобразованию потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шредингера относительно этого преобразования.
13.Исследовать энергетический спектр поперечного движения заряженной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле, введя соответствующим образом выбранные операторы рождения и уничтожения. Воспользоваться выражениемдля векторного потенциала.
1+ и – соответствуют чётным и нечётным решениям.
2В силу того, что потенциал трансляционно инвариантен (периодичен), в.ф. в соседней ячейке (n+1) может отличаться от в.ф. в предыдущей ячейкеnлишь порстоянным множителем, что мы и отразили в (2). При этом ясно, что по модулю он равен 1.
3В данном случае основным состоянием будет состояние с отрицательной энергией, соответствующее- яме. Ближайшее энергетическое состояниеE=0 уже принадлежит непрерывному спектру. Поэтому при вычислении поправок к энергии по теории возмущений вместо сумм надо брать интегралы.
4и есть искомое значение поляризуемости, по определению.