- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 23. Неравенство Гайзенберга
Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы – это принцип неопределенности.
Под канонически сопряженными понимаем величины и.
В квантовой механике для операторов и, которые поставлены в соответствие канонически сопряженным величинам имеем
.
Более того , а сам коммутаторимеет вид оператора.
Это можно записать в виде .
Если , то, тогда, где.
, т.к. и есть числа.
Обозначим . Здесь- единичный оператор.
Тогда из получим(*)
Введем обозначение
Подставим это в неравенство Коши-Шварца, тогда
Используем эрмитовость операторов
,
,
тогда
.
Поделим левую и правую части на , тогда
Используем определение среднего
,
тогда
.
Или
Операторы ине коммутируют, тогда
.
Первое слагаемое обозначим ,.
Второе слагаемое .
Оператор дает чисто вещественное число, адает чисто мнимое число.
Тогда
,
где .
.
Окончательно
.
В полученном неравенстве математически заложен принцип неопределенности Гайзенберга.
Если величина измерена точно, то ,т.е..
Если , то величинаA измерена точно и, но тогда для, т. к.. Из этого следует, что канонически сопряженная величинаBне измерима.
Когда измеряем величину , то получаем спектр значений, которые выходят с вероятностью. Для того чтобынеобходимо чтобы система находилась в состоянии.
§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
Этот вопрос идентичен вопросу рассмотренному в классической механике - будут те же соотношения, но для операторов
.
Поставим в соответствие конкретной системе операторы и:
В декартовой системе координат ,.
Здесь n– число точек в системе.
.
- функция от оператора координаты.
Мы рассматриваем - представление, здесь
Мы рассматриваем декартову систему координат. Гамильтониан мы поставили в соответствие системе материальных точек. Эта система незамкнутая, т. к. потенциальная энергия зависит от времени. (т. е. здесь нет однородности времени).
Перейдем к более простой задаче. Рассмотрим систему N материальных точек во внешнем стационарном поле
Здесь отвечает за внутреннее взаимодействие между частицами.
отвечает за внешнее воздействие на систему частиц.
.
Выражение, описывающее внешнее воздействие обладает аддитивностью, т. е.
.
Индекс a означает, что разные частицы могут взаимодействовать с внешним полем по разному закону. Если все частицы одинаковые и одинаково взаимодействуют с внешним полем, то индексa убирается.
Внутреннее взаимодействие неаддитивно.
Рассмотрим случай свободной материальной точки. Соответственно она ни с чем не взаимодействует:
Тогда , или в-представлении, то
,
тогда .
Если материальная точка во внешнем поле:
,,
Нестационарное поле .
Стационарное поле .
Центральное поле .
Рассмотрим систему двух материальных точек. Мы рассматриваем частный случай – замкнутая система двух материальных точек.
В случае классической механики: .
Отсутствие t в энергии взаимодействия – это однородность времени и закон сохранения энергии.
Зависимость энергии от модуля есть изотропность пространства.
В квантовой механике в -представлении:
,
,
где