- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 19 Волновое уравнение
Надо сформулировать уравнение функции, которая описывала бы квантово-механическую систему.
Это уравнение было получено Шредингером интуитивным путем. Оно ниоткуда не выводится.
Приведем некоторые соотношения в пользу уравнения Шредингера:
Норма волновой функции:
- вероятность обнаружить динамические переменные в интервале.
Наложим на - условие ее сохранения во времени.- это физическое требование, поскольку, тотакже функция времени.
На базе ограничения получим некоторые ограничения на.
Обозначим . Мы знаем, что, таким образом. Тогда само скалярное произведение- чисто мнимое число.
Но - число вещественное. Отсюда можно представить
(19.1)
Здесь мнимая единица из соотношения . Т. к. в (*) стоит линейный оператор, то это соотношение удовлетворяет принципу суперпозиции.
Подставим (19.1) в равенство , тогда
- эта величина должна быть чисто вещественной, тогда оператор- эрмитов: .
Свойства оператора :
В пределе перехода к классической механике: , то, гдеS – действие из классической механики. Причем, тогда рассматривая
, (19.2)
где - функция Гамильтона.
В нашем случае , тогда учитывая предельный переходи (19.2), то: .
Получили волновое уравнение:
- нестационарное уравнение Шредингера (волновое уравнение).
Каждой системе ставится в соответствие Гамильтониан, решаем с гамильтонианом уравнение Шредингера и получаем волновую функцию которая определяет эволюцию системы.
§ 20 Производная оператора по времени
Пусть средняя от величины, тогда.
Ставим в соответствие величине оператор, тогда величинеставим в соответствие.
Распишем:
{ограничение}{и соотношение,}=
=={}==> {распишем квадратную скобку операторов: , но, тогда
}
В классической механике . []-скобки Пуассона.
В квантовой механике существует связь:
В пределе имеем.
В квантовой механике большинство операторов физических величин явно не зависят от времени и их частные производные равны 0.
§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
В классической механике, где, тогдаA– интеграл движения.
В квантовой механике, чтобы величина , которой ставится в соответствие оператор, была интегралом движения нужно, чтобы.
Для того чтобы физическая величина сохранялась, необходимо и достаточно, чтобы .
т. к. , то-значение момента импульса сохраняется, т. е. является интегралом движения.
.- интеграл движения.
. Отсюда следует. Что различные компоненты момента импульса одновременно не измеримы. А измерима только одна проекция.
. Квадрат импульса одновременно измерим с любой компонентой момента импульса.
, тогда импульс не является интегралом движения.
§22. Флуктуации физических величин
Пусть есть - физическая величина, которая при измерении с вероятностьюWi дает величину, тогда мы можем говорить о среднеми о дисперсии, где
.
Мы вводили флуктуацию
,
отклонение величины от ее среднего значения.
Перенесем все это на язык квантовой механики, т. к. физической величине мы ставим в соответствие.
Можно показать, что .
Неравенство Коши-Шварца: Оно справедливо и для функциональных пространств, в том числе и для Гильбертова пространства, которое рассматривается в квантовой механике.
Для двух векторов оно имеет вид
имеет смысл тот, что .
,.
Теперь если обозначить ,, тогда будем также рассматривать статистическое усреднение. Отсюда получим из неравенства Коши-Шварца:
Теперь если определить . К тому же по определению изимеем, тогда. Из этого следует, что
.
В случае квантовой механики заменяем на , тогда
.
Задача.Для стационарного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме найти
Решение. Будем считать, что в.ф. для данной системы уже получены (см. §27).
Согласно определению: (22.1)
Поэтому остается рассчитать
а) В случае числанаходится вычислениями
Подставляя полученные значения в (22.1), получаем
б)Для оператора
Среднее значение будет равно
Подставим в (22.1) и получим