- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
Рассмотрим случай , тогда
(35.1)
Среднее будем записывать без шляпки. Это будем понимать как
Ранее по соотношению неопределенности Гайзенберга было получено:
,
при условии, что
В общем же случае можно записать следующее соотношение:
(35.2)
Теперь рассмотрим (35.1). Для (35.1), как результата коммутации и, найдем соотношение неопределенности, отвечающее результату
Подставим это выражение в (35.2) и получим
Нормальное распределение в теории вероятностей:
Если найти , то
Раньше имели нормировку
,
а теперь еще нормировали саму амплитуду функции на единицу.
.
При
имеем
.
Введем величину с размерностью времени:
.
Это есть , деленная на скорость перемещения максимума кривой.
Тогда имеем
.
Если существует несколько величин , то берут наименьшее из возможных:.
- характерное время жизни данного состояния, тогда
,
соотношение неопределенности Гайзенберга для времени и энергии.
Если - интеграл движения, тои тогда, т.е. имеем уровень, который не размазан по энергетической шкале.
Если , то уровень размазан, имеется разброс энергий.
§ 31. Матричное представление операторов
Рассмотрим оператор с дискретным спектром, запишем для него:
(36.1)
Введем определение матричного элемента оператора:
Умножим левую и правую части (36.1) на , тогда
Выносим собственное значение за скалярное произведение
,
т.к. нормированы на единицу, то
Тогда (36.1) переходит в следующую форму:
(36.2)
Решение сводится к проблеме диагонализации матрицы.
Покажем как оператор действует на произвольную функцию:
{разлагаемпо собственным функциям оператора}=
=.
Найдем коэффициенты .
Умножим последнее равенство на , тогда
.
(36.3)
Коэффициенты получаются в результате действия операторана коэффициенты
Спектр дискретный. Если в (36.3) подставим (36.2), то получим
,
т.е. мы находим векторы ,в которых матрица диагональная.
Если мы рассчитываем матричные элементы на собственных функциях другого оператора с которым он не коммутативен, то матрица не диагональная.
Если решается задача в - представлении, то матрица операторадиагональная. И решение задачи диагонализации матрицы – это поиск собственного представления.
Тогда произведение операторов можно записать как произведение матриц:
.
Для непрерывного спектра рассмотрим тот же матричный подход. Но здесь матрицы не дискретные, а непрерывные, т.к. собственные значения – непрерывный спектр. Здесь понятие матрицы условное.
.
Приведение к диагональному виду:
.
§ 32. Энергетическое представление
E– представление – это представление в котором матрица энергий диагональная. Так как операторимеет дискретный спектр, то мы рассматриваем дискретный случай.
.
Здесь надо решить ЗШЛ в координатном представлении.
Матричный элемент
.
Матрица оператора :
.
Матрица энергий диагональна.
Мы говорим, что - функция - это функция полного набора динамических переменных и времени.
Если в качестве одной из переменных возьмем энергию, то останется переменная.
Рассмотрим
.
(37.1)
Часто пишут
,
хотя на самом деле
.
Будем опускать аргумент , записывая
,
где - номер значения энергии.
Каноническое преобразование (37.1) – это смена представлений: перешли от - представления к- представлению. Здесь уже роль волновой функции играют коэффициенты.
Соответственно этому преобразованию волновых функций преобразуются операторы:
.
То же на языке ядер, опустив
,
- это собственные функции оператора энергии в координатном представлении.
Можно записать:
,
т.к. спектр дискретный.
Тогда роль ядра оператора в- представлении играет матрица.
Таким образом мы переходим от ки отк.
Если рассматривать действие оператора “” на функцию“”, то имеем
Коэффициенты , т.е.определяются как:
,
где
- собственная функция оператора энергии,
- зависит от времени, т.е..