- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§2. Классическое и квантовое описание системы
Опыт № 1. Имеется источник частиц, экран с достаточно узким отверстием. Картину наблюдаем на Э2
Опыт № 2. Заменяем Э1 на Э1/.
Опыт № 3. Объединяем экраны Э1 и Э1/
При классическом описании опыт 3 давал бы сложение интенсивностей от опыта 1 и 2. Однако опыт 3 показал интерференционную картину, а это волновые свойства. Частица с определенной вероятностью проходит как через щель 1 так и через щель 2. Нельзя точно сказать через какую щель пройдет электрон. Классическая интерпретация (с числом степеней свободы n=1) решается составлением уравнений в форме Гамильтона:
Можно найти траекторию частицы. В общем случае состояние механической системы определяется динамическими переменными, т.е.начальных условий. Но опыт показал, что мы не можем определить траекторию частицы в микромире. Количество динамических переменных, которые могут быть одновременно измерены в микромире, в квантовой механике –n.
Скорость
Координата
Если известна точка , то чтобы найти положение точкинадо знатьиодновременно, т. е. координаты и импульс должны быть измерены одновременно. Если мы знаеми, то можем построить траекторию электрона. Однако построить такую траекторию мы не можем (опыт № 3). Тогда мы не можем одновременно измеритьpиq.
§3. Принцип неопределенности
Две формулировки:
В микромире понятие “траектория” отсутствует
Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы
В трехмерном пространстве канонически сопряженные величины будут:
pxиx
pyиy
pzиz
Здесь n=3. Имеем 3 одновременно измеряемые динамические переменные. Например:
px. py. pz
x, y, z
x, y, pz и тд.
§4. Полный набор динамических переменных
Полный набор динамических переменных – это наибольший набор независимых одновременно измеряемых динамических переменных. Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы. Число динамических переменных в квантовой системе - nи по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза. Максимальный набор – это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Заметим, что здесь зависимость не линейная (как в линейной алгебре), а функциональная.
§5. Постулаты квантовой механики
Часто выделяют 4 постулата:
Постулат о волновой функции.
Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.
Динамические переменные одновременно измеримы. -n– мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени- описывает эволюцию квантово-механических систем. классической механике задание2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона. В квантово-механической системе описывается эволюция системы через- функцию отnдинамических переменных.
О связи физических величин и объектов математики (операторов).
Каждой физической величине (наблюдаемой) ставится в соответствие оператор: .
Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора(т. е. решением математических задач)
Пусть - значение физической величины, которое получено в результате измерения системы, находящейся вi-том квантовом состоянии.
является одним из собственных значений оператора. Это задача на собственные функции и собственные значения. Задача определяет собственные значения, соответствующиеи определяет собственные функции, соответствующие собственным значениям. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре. Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.
Определение среднего значения физической величины
Здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства. Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций). Если - квадратично интегрируемые функции, тогда:
Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан перехода. Значок «*» означает комплексное сопряжение.
Это аналог длины в векторном пространстве.