§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме

Уравнение Шредингера:

переходит в следующее:

,

- матричные элементы оператора энергий.

Здесь существует нюанс: оператор в энергетическом представлении должен быть стационарным, т.е., тогда удается решить задачу

, (38.1)

иначе эта задача имеет сложное решение, т.к. там уже .

Для случая и, тогда имеем (*)

Решая (38.1), имеем

.

Очень часто рассматривается представление в котором энергия диагональна и рассматривается переход от Шредингеровского к Гайзенберговскому описанию. Т.е. у операторов есть временная зависимость и еще мы рассматриваем энергетическое представление, т.е.

.

- переносит временную зависимость на оператор.

- переводит к энергетическому представлению.

Здесь действует фактически один оператор:

.

Тогда оператор

.

,

т.к. операторы идействуют на различные переменные, то они коммутативны, т.е.

,

тогда

,

.

Но мы знаем, что оператор сводится к матрице

{оператор (для стационарных:):}={, т.к.- унитарный оператор, тогда}=

={вводится частота}=.

Тогда в энергетическом представлении:

Мы получили заготовку для решения задачи о линейном гармоническом осцилляторе.

Для представления Гайзенберга справедливо соотношение:

Уравнение движения

.

Это некое уравнение движения.

Рассмотрим

.

§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе

Запишем Гамильтониан для линейного гармонического осциллятора (ЛГО):

Классическая функция для ЛГО:

.

В квантовой механике – оператор ЛГО:

.

Удобно ввести безразмерный оператор энергии:

,

тогда

.

Здесь можно ввести безразмерную координату, т.к. эта величина тоже безразмерная.

.

Тогда оператор

,

где

- безразмерный импульс.

Тогда

,

.

Теперь запишем уравнение движения в Гайзенберговском представлении

,

т.к. явно от времени не зависит.

.

Мы знаем, что

,

.

Дифференцируя, имеем:

.

Тогда

(39.1)

Найдем

.

Тогда имеем

.

Это уравнение движения ЛГО в квантовой механике.

В классической механике

,

А в квантовой

. (39.2)

Если рассмотрим

,

тогда

(39.3)

Из (39.1) и (39.3) имеем

(39.4)

Запишем уравнения (39.2) и (39.4) в матричной форме.

.

.

Переводим в матричную форму

. (39.5)

Т. к.

, то

.

Тогда из (39.5) имеем

.

(39.6)

Имеем уравнение движения

.

Посмотрим при каких условиях оно имеет решение

.

Получили дисперсионное уравнение.

Нетривиальное его решение имеет место, если

.

.

Отсюда, примем

.

Получили решение дисперсионного уравнения.

§ 35*. Расчет матричных элементов операторов

Имеют место отличные от нуля матричные элементы.

.

Установим связь между и.

Т. к.

(40.1)

В матричной форме

. (40.2)

Подставляя (40.2) в (40.1), имеем

.

Так как оператор координаты вещественный, то

.

Матрица координат симметричная относительно главной диагонали.

Рассмотрим матричную форму (39.6) из предыдущего параграфа и учтем, что в нем только при существуют ненулевые слагаемые.

Рассмотрим случай и учтем, что.

,

тогда

,

учтем, что и, тогда

.

Так как задача одномерная, то номер состояния будет совпадать с номером энергетического уровня.

Рассмотрим основное состояние

.

.

,

т.к. таких состояний нет, тогда

.

Рассмотрим

,

но

,

тогда

,

и т.д.

Для любого :

,

.

Можно записать матричные элементы оператора координаты в общем виде:

.

Найдем матричные элементы для оператора импульса .

Было получено

.

,

оператор - чисто мнимый.

Для оператора импульса получаем антисимметричную матрицу.

.

Итак

.

Для оператора матричные элементы имеют вид

.

Получили диагональную матрицу. Тогда

.

Основное состояние: описывается в координатном представлении, и в энергетическом представлении через.

Имеем энергию нулевых колебаний:

.

- описывается полиномами Эрмита, например

.

Плотность вероятности для координаты в основном состоянии:

.