- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
Существует два подхода к описанию квантово-механических систем. Согласно одному из них эволюция описывается с помощью временной зависимости волновой функции. А согласно другому – с помощью временной зависимости оператора, а волновая функция фиксирована.
В классической механике движение системы описывается движением фазовой точки по фазовой траектории. В классической механике существует понятие канонического преобразования переменных: мы можем не говорить конкретно о динамическом импульсе и динамической координате, т. к. существует каноническое преобразование от одних координат к другим
Движение материальной точки можно описывать с помощью канонического преобразования от координат в начальный момент времени к координатам в конечный момент времени. Т. е. эволюция классической системы может быть описана с помощью канонического преобразования.
Мы имеем уравнение Шредингера
т .
Оно позволяет найти волновую функцию, описывающую эволюцию системы.
.
Но существует и
,
где - начальный момент времени.
Существует преобразование, которое описывает эволюцию системы:
. (33.1)
Зная оператор можем перейти из начального состояния в конечное.
Подставим (33.1) в уравнение Шредингера
Отметим, что - неявно зависит от динамических координат
Далее переносим все в одну часть и выносим волновую функцию за скобки
Более сложный случай, когда оператор зависит от времени, т. е. внешнее поле нестационарное. Уравнение (33.1) просто решить не удается.
Будем рассматривать случай стационарного поля, когда
Для этого случая оператор имеет вид:
Мы рассматриваем способ описания Шредингера, в котором временная зависимость заключена в -функцию. Эту зависимость можно перенести на оператор эволюциии свести нахождение-функции на нахождение оператора.
В большинстве случаев операторы явно не зависят от времени.
.
Тогда возникает ситуация, когда зависит от времени. Тогда вся информация об эволюции заключена вфункции или в операторе эволюции.
Свойства оператора эволюции:
Он удовлетворяет уравнению
,
при ,
- унитарный оператор.
Докажем это
Уравнение обеспечивает сохранение нормы, т.е.
.
Норму можно взять в любой момент времени. Подставим в условие нормировки уравнение (1), причем положим , тогда
.
Таким образом
,
- унитарный оператор.
§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
Существует подход Гайзенберга: рассмотрим волновую функциюкак волновую функцию в некоторый момент времени, т.е.-функция фиксированная во времен.
,
тогда
,
где
- функция в представлении Шредингера.
- функция в представлении Гайзенберга.
Но система меняется во времени. Тогда изменение квантовой системы должно быть связано с изменением оператора .
Из унитарности следует
.
Напомним, что в теории представления было следующее. Преобразование функции
порождает следующее преобразование оператора
.
Как мы видим в представлении Гайзенберга функция явно от времени не зависит, но тогда от времени зависит оператор
.
А в подходе Шредингера была явная зависимость волновой функции от времени, а оператор от времени явно не зависел.
Дифференцируем оператор по времени
(34.1)
теперь запишем уравнение для оператора эволюции
Сопряженное уравнение
Тогда имеем
,
.
Подставляем эти уравнения в (34.1), получаем
={теперь видно, что в каждом слагаемом есть и, а их можно вынести за скобки}
={внутри квадратных скобок стоит оператор, над которым осуществляется преобразование, причем
,
}=
.
Получили уравнение движения для оператора
Представление Шредингера более физично и более распространено.
Представление Гайзенберга рассматривается только в некоторых системах.
При переходе из одного представления к другому результаты физических наблюдений не меняются. Эти представления унитарные инварианты.
Рассмотрим
.
Найдем
Производная от среднего есть средняя от производной.
Заметим, что под скобками <> можно писать как S, так иH, т.к. среднее инвариантно относительно преобразования.