- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет)
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •§3. Принцип неопределенности
- •§4. Полный набор динамических переменных
- •§5. Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •§7. Волновая функция и ее свойства
- •§8. Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •§10. Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •§11. Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного и непрерывного спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин
- •§15. Операторы координаты , импульса, момента импульса, энергии
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы
- •§ 19 Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в кв. Механике
- •§22. Флуктуации физических величин
- •§ 23. Неравенство Гайзенберга
- •§ 24 Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •§ 26. Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •§ 28. Метод (представление) Шредингера. Оператор эволюции и его свойства
- •§ 29. Метод (представление) Гайзенберга. Уравнение движения для оператора
- •§ 30. Уравнение эволюции среднего значения физической величины. Соотношение неопределенности: время – энергия
- •§ 31. Матричное представление операторов
- •§ 32. Энергетическое представление
- •§ 33. Уравнение Шредингера в матричной форме
- •§ 34*. Матричная формулировка задачи о линейном гармоническом осцилляторе
- •§ 35*. Расчет матричных элементов операторов
- •§ 36. Собственный механический момент (спин)
- •§ 37. Операторы ии их свойства
- •§ 38. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 39. Матрицы Паули и их свойства
- •§ 40. Принцип тождественности
- •§ 41. Оператор перестановки и его свойства
- •§ 42. Симметричное и антисимметричное состояния
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
- •Решения дополнительных задач по курсу "Квантовая теория"
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Дополнительные задачи по курсу “Квантовая теория”.
§6. Роль классической механики в квантовой механике
Два момента присутствия классической механики в квантовой механике:
Измерение микросистем (квантово-механических систем) проводятся с помощью классических приборов (систем).
Принцип соответствия – переход квантово-механических результатов в классическую механику (0, можно ввести такую величину размерности действияA, что). По Эйнштейну этот переход характеризуется. Если, то переход в классическую механику Ньютона.
§7. Волновая функция и ее свойства
Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.
т. е. иописывает одно и тоже состояние, где- фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции- нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точкине нормируема.
- элементарный объем
- вероятность того, что динамические переменныележат в интервале. Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величинапропорциональна плотности вероятности.
§8. Принцип суперпозиции состояний
Если мы имеем состояния системы, описываемые функциями , то суперпозиции этих функций также отвечает некоторое состояние этой системы:
Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется функция должны быть линейными. Этот же вывод распространяется и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.
§9. Понятие о теории представлений
Представление – это совокупность переменных, в которых решается задача (т. е. набор динамических переменных). Рассмотрим одну материальную точку. Число степеней свободыn=3. Здесь могут быть 2 случая:
Под понимаем- имеем-представление (координатное)
Оператор координаты
Оператор импульса
Здесь
Под понимаем- имеем-представление (импульсное)
Оператор координаты
Оператор импульса
Здесь
Мы в основном будем использовать -представление. Результаты измерения от вида представления не зависят!
§10. Операторы в квантовой механике
В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы. Задача на собственные функции и собственные значения:
Определение оператора:
Свойство линейности:
Если , то
т.к. , то
Сопряженный оператор– это оператор, который связан с данным оператором соотношением:
или
Тогда получаем:
Если - то оператор называется эрмитовым (самосопряженным).
Транспонированный оператор
Отметим следующие свойства:
1)
(10.1)
Из выражения (10.1) получаем:
2)
3)
Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает
Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает
В общем случае не коммутативны
Коммутатор
Если , то операторыиназываются коммутативными (операторыикоммутируют).
Если , то операторыиназываются не коммутативными (операторыине коммутируют).
Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике ограничено. Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, значит только их можно ставить в соответствие физическим величинам.
Запишем определение среднего:
Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.
(10.2)
тогда
,
т.е.
Обозначим , тогда
Тогда из (10.2) получаем
(10.3)
Из (10.3) имеем для любых :
,
,
где (сопряженный и транспонированный).