Элементы специальной теории относительности

1.4. В каких случаях необходимо использовать релятивистские соотношения между массой, энергией и импульсом?

2.4. Какое расстояние проходит ⁺ -мезон при  = 0,73 за среднее время его жизни? Среднее время жизни ₀ = 2,510^8 с.

Ответ: 800 см.

3.4. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v₁ = 0,6 с и v₂ = 0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u₂₁ в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

Ответ: 1) 0,195 с; 2) 0,974 с.

4.4. В системе К покоится стержень, собственная длина l₀ которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол  = 45 с осью х. Определить длину l стержня и угол  в системе К, если скорость v₀ системы К относительно К равна 0,8 с.

Ответ: = 59.

Вариант № 5.

Кинематика

1.5. Столкнутся ли две материальные точки, если известно, что траектории их движения пересекаются?

2.5. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v₁ = 60 км/ч, остальную часть пути – со скоростью v₂ = 80 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.

Ответ: 64 км/ч

3.5. Движение точки по кривой задано уравнениями: x = At³ и y = Bt. Здесь: A = 1 м/с³, B = 2 м/с. Для момента времени t = 0,8 с найти: 1) уравнение траектории; 2) скорость точки; 3) полное ускорение.

Ответ: y³  8x = 0; 2,77 м/с; 4,8 м/с².

4.5. Точка лежит на ободе вращающегося колеса. Во сколько раз нормальное ускорение больше её тангенциального ускорения в момент, когда вектор полного ускорения точки составит угол 30  с вектором ее линейной скорости?

Ответ: в 0,58 раз.

Динамика

1.5. Покажите на примерах различие между результирующей и равнодействующей нескольких сил.

2.5. Тело массой 2 кг движется так, что его координаты y и z изменяются во времени. Зависимость y(t) задана соотношением у = В₁t + C₁t², зависимость z(t) определяется выражением z = В₂t   C₂t², где В₁ = 2 м/с; С₁ = 4 м/с²; В₂ = 1 м/с; С₂ = 2 м/с². Определите кинетическую энергию тела в конце третьей секунды движения.

Ответ: W_К = 605 Дж.

3.5. Груз на нити, вращаясь со скоростью 1 об/с, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 10 см. Какой угол образует нить с вертикалью?

Ответ:   22 .

4.5. Определите наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью v = 30 км/ч, если коэффициент трения скольжения между колесами и землей  = 0,25. Определите также наибольший угол  наклона велосипеда, при котором велосипедист еще не будет падать.

Ответ: м; = arctg  = 14 .

Законы сохранения импульса и механической энергии

1.5. Ядро распадается на три частицы, разлетающиеся по разным направлениям. Будет ли неизменным скорость центра масс этих трех частиц? Сделайте рисунок, приведите доказательство.

2.5. Гладкий неупругий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом  к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол , под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии перейдет при столкновении в тепло?

Ответ:  = arctg (2tg );

3.5. Граната массой 1 кг разорвалась на высоте 6 м над землей на два осколка. Непосредственно перед взрывом скорость гранаты была направлена горизонтально и равна 10 м/с. Один из осколков массой 0,4 кг полетел вертикально вниз и упал на землю под местом взрыва со скоростью 10 м/с. Чему равен модуль скорости второго осколка сразу после взрыва?

Ответ: v₂ = 3,6 м/с.

4.5.В некоторый момент две одинаковые частицы, образующие замкнутую систему, находятся на расстоянии l₀ друг от друга и имеют скорости v, направление которых составляет угол  с прямой, их соединяющей. Масса каждой частицы m, сила отталкивания зависит от расстояния r между частицами как а/r², где а – известная постоянная. Найти наименьшее расстояние, на которое сблизятся частицы.

Ответ: l_min = al₀ / (a + l₀mv² cos² ).