Элементы специальной теории относительности

1.11. Лоренцово сокращение длины.

2.11. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью l = = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l₀ которого равна 1 м?

Ответ: 134 км/ч.

3.11. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями v₁ = 0,6 с и v₂ = 0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u₂₁ в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

Ответ: 1) 0,195 с; 2) 0,974 с.

4.11. В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью v = 0,99с, пролетел от места рождения до точки распада расстояние l = 3 км. Определить: 1) собственное время жизни мезона; 2) расстояние, которое пролетел мезон в К-системе с «его точки зрения».

Ответ: ;.

Вариант № 12.

Кинематика

1.12. Приведите примеры движений, при которых отсутствует: а) нормальное ускорение, в) тангенциальное ускорение.

2.12. Движение материальной точки задано уравнением х = At + Bt², где A = 4 м/с, B = 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость точки равна v = 0. Найти коорди­нату и ускорение в этот момент.

Ответ: 40 с; 40 м; – 0,1 м/с².

3.12. Равноускоренно вращающееся колесо достигло угловой скорости  = = 20 рад/с через n = 10 оборотов после начала враще­ния. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ:  = 3,2 рад/с².

4.12. Два тяжелых шарика брошены с одинаковыми началь­ными скоростями из одной точки вертикально вверх, один через 3 с после другого. Они встретились в воздухе через 6 с после вылета первого шарика. Определите начальную скорость шариков. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: 44,1 м/с.

Динамика

1.12. Дайте определение центра инерции или центра масс системы материальных точек.

2.12. Материальная точка массой m = 2 кг, двигаясь равномерно по окружности, проходит путь, равный длинам двух с половиной окружностей, т.е. S = 2,52R. Определите, сколько раз в течение всего времени движения изменение импульса точки становится равным удвоенному значению ее начального импульса. Определите изменение импульса точки, если она прошла три четверти окружности радиусом 1 м за 6 с.

Ответ: N = 3; Р = Р₂ – Р₁ ; Р  2,2 (кгм)/с.

3.12. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза 2 кг, нижнего 3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, длина пружины равна 0,1 м. Если же систему поставить вертикально на подставку, длина пружины равна 4 см. Определить длину ненапряженной пружины.

Ответ: 0,064 м.

4.12. Тепловоз тянет состав, состоящий из 5 одинаковых вагонов с ускорением а = 10 м/с². Определите силу натяжения сцепки между третьим и четвертым вагонами (считая от начала состава), если масса каждого вагона m = 100 кг, а коэффициент сопротивления  = 0,1.

Ответ: F = m(n – k)(a + g), где n = 5; k = 3; k + 1 = 4.

F = 2200 Н.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1.12. Как рассчитать потенциальную энергию силы тяжести?

2.12. Две пружины с жесткостями k₁ = 0,3 кН/м и k₂ = 0,5 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х₂ второй пружины равна 3 см. Вычислить работу А растяжения пружины.

Ответ: 0,6 Дж.

3.12. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу  опишет камешек, прежде чем оторваться от поверхности купола? Трением пренебречь.

Ответ: = arcсos (2/3) = 0,268 рад.

4.12. С помощью электролебедки вверх по наклонной плоскости поднимают груз, причем канат параллелен наклонной плоскости. При каком угле наклона плоскости к горизонту скорость груза будет минимальной, если коэффициент трения 0,4, а мощность двигателя 1,5 кВт?

Ответ:  = arctg(1/) = 68  12.