Линейная алгебра
.pdf
Министерство образования Российской Федерации
Международный образовательный консорциум «Открытое образование»
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
АНО «Евразийский открытый факультет»
А.Н. Романников
Линейная алгебра
Учебное пособие
Москва, 2003
УДК |
51 |
ББК |
22.143 |
А535
Романников А.Н. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА: Учебное пособие // Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2003. – 124 с.
ISBN 5–7764–0356–1
Романников А.Н., 2003 г.
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2003 г.
Содержание |
|
Глава 1. Алгебра матриц............................................................................................................... |
5 |
1.1. Матрицы. Основные определения..................................................................................... |
5 |
1.2. Действия над матрицами .................................................................................................... |
6 |
1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1 ............................................................. |
9 |
Глава 2. Определители................................................................................................................ |
11 |
2.1. Перестановки и подстановки............................................................................................ |
11 |
2.2. Определители и их свойства............................................................................................. |
12 |
2.3. Миноры и алгебраические дополнения........................................................................... |
15 |
2.4. Вычисление определителей n-го порядка....................................................................... |
17 |
2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2 ........................................................... |
19 |
Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)................................................................................... |
21 |
3.1. Обратная матрица.............................................................................................................. |
21 |
3.2. Ранг матрицы ..................................................................................................................... |
22 |
3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы............................................... |
24 |
3.4. Многочленные матрицы ................................................................................................... |
29 |
3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3 ........................................................... |
34 |
Глава 4. Решение системы линейных уравнений..................................................................... |
36 |
4.1. Система линейных уравнений.......................................................................................... |
36 |
4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными......................... |
36 |
4.3. Теорема Кронекера-Карелли............................................................................................ |
39 |
4.4. Метод Жордана-Гаусса..................................................................................................... |
40 |
4.5. Однородные системы линейных уравнений................................................................... |
48 |
4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4 ........................................................... |
51 |
Глава 5. Векторные пространства.............................................................................................. |
53 |
5.1. Понятие векторного пространства................................................................................... |
53 |
5.2. Линейная зависимость и независимость векторов......................................................... |
55 |
5.3. Базис векторного пространства........................................................................................ |
56 |
5.4. Изоморфизм векторных пространств.............................................................................. |
58 |
5.5. Преобразование координат при изменении базиса........................................................ |
58 |
5.6. Евклидово пространство................................................................................................... |
61 |
5.7. Ортогональные преобразования....................................................................................... |
66 |
5.8. Выпуклые множества........................................................................................................ |
67 |
5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5 ........................................................... |
69 |
Глава 6. Линейные операторы.................................................................................................... |
72 |
6.1. Определение линейного оператора.................................................................................. |
72 |
6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.............................. |
74 |
6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора................................. |
77 |
6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6 ........................................................... |
82 |
Глава 7. Квадратичные формы................................................................................................... |
83 |
7.1. Определение квадратичной формы ................................................................................. |
83 |
7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме................................... |
84 |
7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду........... |
88 |
7.4. Положительно определенные квадратичные формы..................................................... |
90 |
7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7 ........................................................... |
93 |
3
Глава 8. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач |
...95 |
8.1. Использование операций над матрицами ....................................................................... |
95 |
8.2. Модель планирования производства............................................................................... |
98 |
8.3. Модель планирования материальных затрат.................................................................. |
99 |
8.4. Балансовая модель производства................................................................................... |
101 |
Ответы и указания к заданиям для самостоятельной работы............................................... |
107 |
Глава 1...................................................................................................................................... |
107 |
Глава 2...................................................................................................................................... |
107 |
Глава 3...................................................................................................................................... |
108 |
Глава 4...................................................................................................................................... |
109 |
Глава 5...................................................................................................................................... |
110 |
Глава 6...................................................................................................................................... |
111 |
Глава 7...................................................................................................................................... |
112 |
Контрольные задания................................................................................................................ |
113 |
Контрольное задание 1........................................................................................................... |
113 |
Контрольное задание 2........................................................................................................... |
114 |
Контрольное задание 3........................................................................................................... |
116 |
Контрольное задание 4........................................................................................................... |
117 |
Контрольное задание 5........................................................................................................... |
117 |
Контрольное задание 6........................................................................................................... |
118 |
Контрольное задание 7........................................................................................................... |
121 |
Контрольное задание 8........................................................................................................... |
121 |
Контрольное задание 9........................................................................................................... |
122 |
Контрольное задание 10......................................................................................................... |
123 |
Список литературы.................................................................................................................... |
124 |
Руководство по изучение дисциплины «Линейная алгебра» ...................................................... |
|
4
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Глава 1. Алгебра матриц
1.1. Матрицы. Основные определения
Матрицей А = ( аij ) m,n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов:
a |
a |
... |
a |
|
11 |
12 |
|
1n |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
A = |
... |
... |
... |
|
... |
|
|||
|
am2 |
... |
|
|
am1 |
amn |
|||
Числа aij ( i =1,m ; j =1,n ), составляющие данную матрицу, называются её элемен-
тами; i – номер строки матрицы, j – номер столбца.
Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n.
|
1 |
4 |
7 |
|
|
|
Например, |
|
2 |
5 |
8 |
|
– квадратная матрица третьего порядка. |
A = |
|
|||||
|
|
3 |
6 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
Про элементы aii такой матрицы говорят, что они стоят на главной диагонали.
Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю:
|
|
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
0 |
a22 ... |
a2n |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
|
|
||||
|
|
|
|
|
... |
... |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
amn |
|
|||||
1 |
8 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
например, A = |
0 |
5 |
6 – треугольная матрица третьего порядка |
||||||||||
|
0 |
0 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Квадратная матрица вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
α |
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
... |
0 |
|
|||
|
|
|
|
A = |
0 |
|
0 |
α |
3 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... ... |
... |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
αn |
|||||||
называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. αi = k (i =1,n) , k = const , называются скалярными матрицами.
Если αi =1 (i =1, n) , то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквой Е, т.е.:
5
АЛГЕБРА МАТРИЦ
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|||||
E = |
0 |
0 |
1 |
... |
0 |
. |
|
|
... |
... |
... |
|
|
... |
... |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
|||||
Например, матрицы А, B, E являются соответственно диагональной, скалярной и единичной третьего порядка.
1 |
0 |
0 |
|
5 0 |
0 |
|
1 0 |
0 |
||||||||
|
0 |
5 |
0 |
|
, |
|
0 |
5 |
0 |
|
, |
|
0 |
1 |
0 |
|
A = |
|
B = |
|
E = |
. |
|||||||||||
|
0 |
0 |
9 |
|
|
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е. aij = a ji (i =1, n; j =1, n).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
6 |
8 |
|
|
Например, |
|
|
– симметрическая матрица четвертого порядка. |
||||
A = |
3 |
6 |
6 |
9 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
8 |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О.
Например, О2,3 = 0 0 0 – нулевая матрица размера два на три.
0 0 0
1.2 Действия над матрицами
Две матрицы A = (aij )m,n |
и B = (bij ) m,n |
|
называются равными, А=В, если их соответ- |
|||||||||||
ствующие элементы равны, т.е. аij = bij , (i = |
|
; j = |
|
). |
|
|
||||||||
1,m |
1,n |
|
|
|||||||||||
Суммой двух матриц A = (aij )m,n |
и Β = (bij )m,n |
|
называется матрица C=A+B, элемен- |
|||||||||||
ты которой сij равны сумме соответствующих элементов aij |
и bij матриц A и B, т.е. |
|||||||||||||
cij = aij +bij . Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
6 |
|
|
2 |
9 |
||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
8 |
|
|
|
4 |
|
|||
A = |
, |
B = |
, C = |
A + B = |
10 . |
|||||||||
|
3 |
1 |
|
|
4 |
10 |
|
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
11 |
||||||||
Для суммы матриц справедливы следующие свойства:
1.A+B=B+A – коммутативность;
2.A+(B+C)=(A+B)+C – ассоциативность;
3.A+О = A.
6
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Произведением матрицы |
A = (aij )m,n на число α |
|
называется матрица |
B = (bij )m,n , |
||||||||
элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число |
||||||||||||
α , т.е. b |
=α a |
|
. Например, если α = 3 , а матрица |
1 |
3 |
|
, то |
3 |
9 |
|
||
ij |
A = |
|
|
|
B =αA = |
|
. |
|||||
ij |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
– числа. Из определения произведения матрицы на
4. α(β Α)=(α β)Α, 5. (α + β)Α =α Α + β Α,
6. α (Α + Β)=α Α+α Β.
Матрица (− A)= (−1) A называется противоположной матрице A.
Если матрицы A и B одинаковых размеров, то их разность равна A − B = A +(−1) B .
Произведением матрицы A=(aij) порядка m×k на матрицу B = (bij ) порядка k ×n
называется матрица C = A B порядка m×n , элементы которой сij равны:
cij = ai1b1 j +ai2b2 j +... +aik bkj , ( i =1,m ; j =1,n ).
Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С, необходимо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.
Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы
Аравно числу строк матрицы В.
Врезультате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя.
Для произведения матриц справедливы следующие свойства:
1. A(BC) = (AB)C |
3. |
(A + B)C = AC + BC |
2. α (AB) = (α A)B |
4. |
C(A+B) = CA + CB |
Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений. Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ≠ ВА. В случае
прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Очевидно, что для квадратных матриц порядка n существуют АВ и ВА. Однако для всех n, начиная с n=2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц.
Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц:
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
А = |
|
, В = |
|
. |
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 +1 1 |
0 0 +1 0 |
|
|
|
||||
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
; |
|||||
A B = |
|
|
= |
+0 |
1 0 0 +0 0 |
|
= |
|
||||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 0 |
|
0 |
0 |
|
|||
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 0 +0 0 |
0 1+0 0 |
0 |
0 |
|
|||
B A = |
|
|
|
|
= |
+0 |
0 |
1 1+0 0 |
|
= |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 0 |
|
0 |
1 |
|
|||
7
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Пример. Найти произведение матриц А и В.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
1 |
|
5 |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
3 |
5 |
4 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
1 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
3 |
2 |
3 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
AB = |
|
1 |
5 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 2 +3 1 |
0 3 +3 3 |
0 (−1) +3 5 |
0 0 +3 4 |
3 |
9 |
15 12 |
|||||
|
1 2 +5 1 |
1 3 +5 3 |
1 (−1) +5 5 |
1 0 +5 4 |
|
|
|
7 |
18 24 20 |
|
|
= |
|
|
= |
|
|||||||
|
(−1) 2 +1 1 (−1) 3 +1 1 (−1) (−1) +1 5 |
(−1) 0 +1 |
4 |
|
|
−1 |
0 |
6 4 |
|
||
|
|
|
|
||||||||
Если АВ = ВА, то матрицы и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем
АЕ = ЕА = А.
Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:
А = α Е.
Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.
Квадратную матрицу А можно возвести в степень n , для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е. An = A A ... A .
Транспонирование матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:
|
|
|
a |
a |
21 |
... |
a |
m1 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||
|
|
|
a12 |
a22 |
... |
am2 |
|
|||
′ |
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
T |
|
|
13 |
|
23 |
|
|
m3 |
||
A = A |
= |
|
|
|
||||||
|
a |
a |
|
... |
a |
m4 |
|
|||
|
|
|
|
14 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... ... |
|
|||||
|
|
|
a |
a |
2n |
... |
a |
mn |
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
||
Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения:
1.(А/ ) / =А;
2.(А+В) / =А/ +B / ;
3.(AB) / =B / A / .
Если матрица А – симметрическая, то А/ =А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной.
Очевидно, что произведение С=АА/ представляет собой симметрическую матрицу. Действительно,
С/ = (АА/ ) / =(А/ ) / А/ =АА/ =С.
При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А.
В различных приложениях используется понятие нормы матрицы.
8
АЛГЕБРА МАТРИЦ
Под нормой матрицы А= (aij )m,n понимается действительное число ||A||, удовлетво-
ряющее условиям:
а) ||A|| ≥0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А=О;
б) ||α A||=|α | •||A||, (α – число) и, в частности ||-A||=||A||; в) ||A+B|| ≤||A||+||B||;
г) ||AB|| ≤||A|| •||B||,
где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.
Для матрицы А=(аij ) m,n произвольного типа рассматриваются главным образом три
вида норм:
1) ||A|| m = maxi ∑| aij |
j
2) |
||A|| l = max |
∑| aij | |
|
j |
i |
|
|
|
3) |
||A|| k = ∑ ∑| aij |2 |
|
|
i |
j |
(m – норма); (l – норма); (k – норма).
Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям.
1.3 Задания для самостоятельной работы по главе 1
|
5 |
2 −2 |
−3 |
2 |
2 2 |
2 |
|||||
|
|
6 |
4 |
−3 |
5 |
|
|
−1 −5 3 |
11 |
|
|
1.1. |
|
|
|
|
|||||||
|
9 |
2 |
−3 |
4 |
|
|
16 24 8 |
−8 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7 |
6 |
−4 |
7 |
|
|
8 |
16 0 |
−16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
−1 7 |
−2 3 4 |
|||||
|
|
−5 |
|
−3 −4 4 |
|
|
11 |
0 3 4 |
|
||||
1.2. |
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
4 3 0 |
|
|
|
|
|
|
4 −3 |
|
||||||||
|
|
|
|
−11 |
−15 |
14 |
|
|
22 |
2 9 8 |
|
||
|
−16 |
|
|
|
|||||||||
1.3. |
2 |
−1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4. |
cosα |
−sinα n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
λ |
|
0 ... |
|
0 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
λ2 ... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1.5. |
|
0 |
|
|
|
, все элементы матрицы, стоящие вне главной диагонали, |
|||||||
|
|
|
... ... |
|
... |
|
|||||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λn |
|
|
|
|
|
|
|||
равны нулю.
9
АЛГЕБРА МАТРИЦ
1.6. |
λ |
1 n |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
λ |
|
|
|
|
||
1.7.Как изменится произведение АВ матриц А и В, если: а) переставить i-ую и j-ую строки матрицы А?
б) к i-ой строке матрицы А прибавить j-ую строку, умноженную на число с? в) переставить i-ый и j-ый столбцы матрицы В?
г) к i-му столбцу матрицы В прибавить j-ый столбец, умноженный на число с?
1.8.Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу ВА.
1.9.Доказать, что если А – диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна.
1.10. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу
|
|
λ |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
0 |
... |
0 |
|
вызывает умножение строк А соответственно на |
λ ,λ |
|
,...,λ |
|
, а ум- |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|||||
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λn |
|
|
|
|
|
|
||||
ножение А на В справа вызывает аналогичное изменение столбцов.
10