Линейная алгебра

АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Уже этих данных достаточно для того, чтобы сделать вывод: D2=1, следовательно,

E2 = D2 =1.

D1

Определяем D3

Матричным многочленом называется выражение вида

F (λ)= A0λS + A1λS −1 +... + AS ,

где λ – переменное; A0 , A1 ,..., AS – квадратные матрицыпорядка n с числовыми элементами. Если A0 ≠ 0 , то S называют степенью матричного многочлена, n – порядком мат-

ричного многочлена.

Любую квадратичную λ -матрицу можно представить в виде матричного многочлена. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение, т.е. любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной λ -матрицы.

Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах:

Пример. Представить многочленную матрицу

в виде матричного многочлена можно следующим образом

Пример. Матричный многочлен

можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( λ -матрицы)

Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа.

Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, одна-

31

АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ко, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц.

Два матричных многочлена называются равными, если равны их коэффициенты, т.е. соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного λ .

Суммой (разностью) двух матричных многочленов F(λ) и G(λ) называется такой

матричный многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного λ равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени λ в многочленах F(λ) и G(λ).

Чтобы умножить матричный многочлен F(λ) на матричный многочлен G(λ), нужно каждый член матричного многочлена F(λ) умножить на каждый член матричного многочлена G(λ), сложить полученные произведения и привести подобные члены.

Степень матричного многочлена – произведения F(λ)G(λ) меньше или равна сум-

ме степеней сомножителей.

Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими λ -матрицами.

Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены, достаточно сложить (вычесть) соответствующие λ -матрицы. То же относится к умножению. λ -матрица произведения матричных многочленов равна произведению λ -матриц сомножителей.

Пример.

Q1 (λ) и правый остаток R1(λ)

F (λ)= Q1 (λ)G(λ)+ R1 (λ),

где степень R1 меньше степени G(λ), или R1 (λ)= 0 (деление без остатка), а также левое частное Q2 (λ) и левый остаток R2 (λ)

F (λ) = G(λ)Q2 (λ) + R2 (λ),

где степень R2 (λ) меньше степени G(λ), или R2 (λ)=0 (деление без остатка).

32

АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Обобщённая теорема Безу. При делении матричного многочлена F(λ) на много-

Доказательство. Доказательство справедливости обеих формул (3.4.1) и (3.4.2) осуществляется одинаково, непосредственной подстановкой. Докажем одну из них.

Итак, делимое – F (λ) , делитель – G = λE − A , в качестве частного имеем многочлен

Q2 (λ) = A0λS −1 +(AA0 + A1)λS −2 +(A2 A0 + AA1 + A2 )λS −3 +... +

+(AS −1 A0 + AS −2 A1 +... + AS −1).

Определим произведение (λE − A) Q2 (λ) :

A0λS +(AA0 + A1)λS −1 +(A2 A0 + AA1 + A2 )λS −2 +... +

+(AS −1 A0 + AS −2 A1 +... + AS −1)λ − AA0λS −1 −(A2 A0 + AA1)λS −2 −

−(A3 A0 + A2 A1 + AA2 )λS −3 −... −(AS A0 + AS −1 A1 +... + AAS −1) =

= A0λS + A1λS −1 + A2λS −2 +... + AS λ −(AS A0 + AS −1 A1 +... + AAS −1),

т.е. ( AS A0 + AS −1 A1 +... + AAS −1 ) + F (λ) = (λE − A)Q2 (λ), или F (λ) = (λE − A)Q2 (λ) +( AS A0 + AS −1 A1 +... + AAS −1 ),

т.е. R2 = AS A0 + AS −1 A1 +... + AAS −1,

что и требовалось доказать.

Следствие. F(λ) делится справа (слева) на многочлен (λE − A) тогда и только то-

33

АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

3.5.Задания для самостоятельной работы по главе 3

3.1.Найти обратную матрицу

3.2. Найти обратную матрицу порядка n

34

АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

3.7. Найти обратную матрицу порядка n

3.8. Как изменится обратная матрица A−1, если в данной матрице A: а) переставить i-ую и j-ую строки?

б) i-ую строку умножить на число с, не равное нулю?

в) к i-ой строке прибавить j-ую, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?

ничные матрицы соответственно порядков k и l, U – произвольная матрица порядка k ×l , а все остальные элементы равны нулю.

3.10. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:

а) (A + B)′ = A′+ B′;

б) (AB)′ = B′A′; в) (cA)′ = cA′;

г) (A−1 )′ = (A′)−1 ,

где с – число, а А и В – матрицы.

3.11.Доказать, что если А и В – симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица C = A B A B ... A B A является симметрической.

3.12.Показать, что для любой матрицы Вматрица A = B B′ является симметрической.

3.13. Квадратная матрица A = (aij ) порядка n называется ортогональной, если

A A′ = E , где Е – единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:

а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т.е.

n

∑akiakj =δi j , k =1

где δi j – символ Кронекера, обозначающий 1 при i=j и 0 при i ≠ j ; б) строки А образуют ортонормированную систему, т.е.

n

∑aik a jk =δij .

k=1

3.14.Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

3.15.Доказать, что если ранг матрицы А равен r, то минор d, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.

35

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Глава 4. Решение системы линейных уравнений

4.1. Система линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида

таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа (α1 вместо x1 , α2 вместо x2 ,...,αn вместо xn ), то все уравнения обратятся в тождества.

Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.

Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу A = (aij )m,n и

полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.

4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

an1x1 + an2 x2 +... + ann xn = bn .

Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1).

Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

36

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и α1,α2 ,...,αn – одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:

+ ann Аnj )αn = b1 А1 j +b2 А2 j +... +bn Аnj

Коэффициент при α j равен определителю |A| системы (4.2.1), коэффициент при α1,α2 ,...,α j−1,α j+1,...,αn равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем,

полученным из определителя|A| путем замены j-гостолбца столбцом свободных членов. Обозначим данный определитель через

Aj = b1 A1 j +b2 A2 j +... +bn Anj

Тогда равенство (4.2.3) примет вид: | А|α j =| Aj |, откуда

системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

Теорема доказана.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

x1 + 2x2 + 3x3 = 7, x1 −3x2 + 2x3 =5, x1 + x2 + x3 =3.

37

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение. Вычислим определитель | A |,| A1 |,| A2 |,| A3 |:

откуда x1 =1, x2 = 0, x3 = 2.

Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения