Линейная алгебра

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.6.Задания для самостоятельной работы по главе 4

4.1.Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

2x1 + 2x2 − x3 + x4 = 4 4x1 +3x2 − x3 + 2x4 = 6

8x1 +5x2 −3x3 + 4x4 =12 3x1 +3x2 −2x3 + 2x4 = 6

4.2. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. 2x1 +3x2 +11x3 +5x4 = 2

x1 + x2 +5x3 + 2x4 =1

2x1 + x2 +3x3 + 2x4 = −3 x1 + x2 +3x3 + 4x4 = −3

4.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. 2x1 +5x2 + 4x3 + x4 = 20

x1 +3x2 + 2x3 + x4 =11

2x1 +10x2 +9x3 +7x4 = 40 3x1 +8x2 +9x3 + 2x4 = 37

4.4. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. 3x1 + 4x2 + x3 + x4 +3 = 0

3x1 +5x2 +3x3 +5x4 +6 = 0 6x1 +8x2 + x3 + 2x4 +8 = 0 3x1 +5x2 +32x3 + 4x4 +8 = 0

4.5. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. 7x1 +9x2 + 4x3 + 2x4 −2 = 0

2x1 −2x2 + x3 + x4 −6 = 0 5x1 +6x2 +3x3 + 2x4 −3 = 0 2x1 +3x2 + x3 + x4 = 0

4.6. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. x1 + x2 −6x3 −4x4 = 6

3x1 − x2 −6x3 −4x4 = 2 2x1 +3x2 +9x3 + 2x4 = 6

3x1 + 2x2 +3x3 +8x4 = −7

4.7. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. 2x1 −3x2 +3x3 + 2x4 −3 = 0

6x1 +9x2 −2x3 − x4 + 4 = 0 10x1 +3x2 −3x3 −2x4 −3 = 0 8x1 +6x2 + x3 +3x4 +7 = 0

51

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.8. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. x1 + 2x2 +5x3 +9x4 = 79

3x1 +13x2 +18x3 +30x4 = 263 2x1 + 4x2 +11x3 +16x4 =146 x1 +9x2 +9x3 +9x4 = 92

4.9. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =15

x1 + 2x2 +3x3 + 4x4 +5x5 = 35 x1 +3x2 +6x3 +10x4 +15x5 = 70

x1 + 4x2 +10x3 + 20x4 +35x5 =126 x1 +5x2 +15x3 +35x4 +70x5 = 210

4.10. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. x1 + 2x2 +3x3 + 4x4 +5x5 = 2

2x1 +3x2 +7x3 +10x4 +13x5 = 35 3x1 +5x2 +11x3 +16x4 + 21x5 =17 2x1 −7x2 +7x3 +7x4 + 2x5 = 57 x1 + 4x2 +5x3 +3x4 +10x5 = 7

4.11. Исследовать совместимость и найти общее и одно базисное решение системы линейных уравнений.

2x1 − x2 +3x3 −7x4 = 5 6x1 −3x2 + x3 −14x4 = 7

4x1 −2x2 +14x3 −31x4 =18

4.12. Исследовать совместимость и найти общее и одно базисное решение системы линейных уравнений.

x1 + x2 +3x3 −2x4 +3x5 =1 2x1 + 2x2 + 4x3 − x4 +3x5 = 2 3x1 +3x2 +5x3 −2x4 +3x5 =1

2x1 + 2x2 +8x3 −3x4 +9x5 = 2

4.13. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ .

(1+λ)x1 + x2 + x3 = λ2 +3λ

x1 +(1+λ)x2 + x3 = λ3 +3λ2 x1 + x2 +(1+λ)x3 = λ4 +3λ3

4.14. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений.

52

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Глава 5. Векторные пространства

5.1. Понятие векторного пространства

Определение. Множество R элементов x, y, z,... называется векторным или линей-

ным пространством, если:

1. Любой паре элементов x R и y R однозначно ставится в соответствие элемент z R, называемый суммой x и y и обозначаемый z = x + y ;

2. Каждому элементу x R и любому числу α ставится в соответствие элемент z R , называемый произведением элемента x на число α и обозначаемый z =αx ;

3. Введение операций сложения элементов и умножения элементов на число удовлетворяют следующим аксиомам:

I. x + y = y + x ;

II. (x + y) + z = x +( y + z) , для любых x, y, z R ;

III. существует такой нулевой элемент 0 R , что x + 0 = x , для любого x R ;

IV. для каждого элемента x R существует такой элемент (−x) (называемый противоположным к x ), что x +(−x) = 0 ;

V. 1 x = x ;

VI. α(βx) = (αβ)x , для любого x R и любых чисел α, β ; VII. (α + β)x =αx + βx , для любого x R и любых чисел α, β ;

VIII. α(x + y) =αx +αy , для любых x и y из R и любого числа α ;

Элементы векторного пространства называются векторами. Если в пространстве R определено умножение его элементов на вещественные числа, то R называется вещественным векторным пространством. Если элементы из R можно умножать на комплексные числа, то R называется комплексным векторным пространством. Из аксиом I – VIII непосредственно вытекают следующие свойства векторного пространства:

1. Единственность нулевого вектора. Предположим, что в пространстве R имеются два нулевых вектора 01 и 02 . Тогда, так как для любого x R имеем x + 01 = x и

x + 02 = x , то, в частности, полагая x = 02 , получаем 02 + 01 = 02 и, полагая x = 01 , получа-

53

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Приведем следующие примеры некоторых векторных пространств.

1.Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данное множество является векторным пространством, если числовой множитель является элементом множества рациональных или вещественных чисел. Если числовой множитель есть элемент множества комплексных чисел, то данное множество не образует векторного пространства, так как произведение действительного числа на комплексное число в общем случае есть комплексное число.

2.Множество всех рациональных чисел образует здесь векторное пространство, если числовой множитель есть рациональное число. Если числовой множитель является вещественным или комплексным числом, то это множество векторного пространства не образует.

3.Рассмотрим множество элементов, каждый из которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел. Элементы этого множества будем называть векторами и обозначать

Операции сложения векторов и умножения вектора на число вводятся следующим образом:

Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам I – VIII векторного пространства. Значит, это множество является векторным пространством, которое обозначим Rn.

Очевидно, что нулевой вектор из Rn имеет вид: 0 = (0,0,...,0)T .

4. Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, с обычными для многочленов операциями сложения и умножения на число. В этом пространстве вектор

x имеет вид: x = A0t n + A1t n−1 +... + An , где А0,А1,…,An – произвольные числа, t – перемен-

ная. Данное множество является векторным пространством.

Пусть множество R образует некоторое векторное пространство. Тогда всякое подмножество R1 множества R, элементы которого также образуют векторное пространство с теми же самыми операциями сложения и умножения на число, что и в R, называется подпространством векторного пространства R. Для того чтобы подмножество R1 множества R было подпространством векторного пространства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1)если x R1 и y R1 , то x + y R1

2)если x R1 и λ – любое число, то λx R1 .

Необходимость следует из того, что эти условия должны выполняться для любого векторного пространства.

Для доказательства достаточности надо показать, что выполняются все восемь аксиом векторного пространства.

54

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Справедливость аксиом I, II, V – VIII очевидна. Докажем выполняемость аксиомы III. Так как по условию, если x R1 , то λx R1 при любом λ , то, полагая λ =0, получим

0 x = 0 R1. Но x + 0 = x R1 и, следовательно, аксиома III верна. Для доказательства аксиомы IV положим λ = −1. Так как x R1 , то (−1)x R1 , a (−1)x есть вектор, противопо-

ложный вектору x . Следовательно, подмножество R1 вместе с вектором x содержит и противоположный ему элемент, что и доказывает выполнимость аксиомы IV.

5.2. Линейная зависимость и независимость векторов

Важную роль в дальнейшем изложении будет играть понятие линейной зависимости и независимости векторов.

Определение. Пусть R – векторное пространство. Векторы a1, a2 ,..., ak называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1, λ2 ,..., λk , не равные одновременно нулю, что

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми называются линейно независимыми. Другими словами, векторы a1, a2 ,..., ak называются линейно независимыми, если ра-

венство (5.2.1) выполняется, тогда и только тогда, когда λ1 = 0 , λ2 = 0 ,…, λk = 0 .

Пусть векторы a1, a2 ,..., ak линейно зависимы, т.е. пусть в соотношении (5.2.1) хотя

них является линейной комбинацией остальных. Верно и обратное утверждение: векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы. На прямой любые два вектора пропорциональны, т.е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы. Если R – совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в R можно найти, но всякие четыре вектора линейно зависимы. Из приведенных примеров мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в аналитической геометрии принято называть размерностью прямой, плоскости, пространства.

Введем определение размерности векторного пространства.

Определение. Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит. Векторное пространство размерности n обозначается Rn.

Если в пространстве R можно найти любое число линейно независимых векторов, то R называется бесконечномерным. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. Влинейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.

55

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

5.3. Базис векторного пространства

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов a1, a2 ,..., an про-

странства Rn называется его базисом. Согласно определению n мерного векторного пространства Rn в нем существует n линейно независимых векторов, т.е. существует базис.

Теорема. Каждый вектор x векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть, векторы a1, a2 ,..., an образуют базис в Rn. Присоединим к ним произвольный вектор y из Rn. Так как каждая система из (n+1) векторов пространства Rn линейно зависима, то линейно зависима и система x, a1, a2 ,..., an , т.е. существуют та-

значное соответствие между векторами этого пространства и упорядоченными последовательностями из n чисел x1, x2 ,..., xn . Числа x1, x2 ,..., xn будем называть координатами век-

Рассмотрим действия над векторами в координатной форме.

Пусть в пространстве Rn задан базис a1, a2 ,..., an . Так как любой вектор из Rn можно

представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

x = x1a1 + x2a2 +... + xn an y = y1a1 + y2a2 +... + yn an ,

то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения на число, имеем

x + y = (x1a1 +... + xn an ) + ( y1a1 +... + yn an ) = (x1 + y1 )a1 +... + (xn + yn )an , λx = λ(x1a1 + x2a2 +... + xnan ) = λx1a1 + λx2a2 +... + λxnan .

56

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Отсюда следует, что если векторы пространства Rn, заданы своими координатами относительно некоторого базиса a1, a2 ,..., an , то при сложении векторов или умножении их

на число λ координаты векторов соответственно складываются или умножаются на λ . Таким образом,

x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ,..., xn + yn )T , λx = (λx1, λx2 ,..., λxn )T

и если

y = λ1x1 + λ2 x2 +... + λn xn

где

Примеры.

1.Для случая трехмерного пространства R3 определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой системе координат.

2.Пусть Rn – пространство, векторами которого являются упорядоченные системы

x= (α1,α2 ,...,αn )T из n чисел.

Очевидно, что n векторов

е1 = (1,0,.....,0)Т , е2 = (0,1,.....,0)Т ,

………………..

еn = (0,0,.....,1)Т ,

образуют базис этого пространства. Найдем координаты α1,α2 ,......,αn вектора x в этом базисе:

х = (α1,α2 ,...,αn ) =α1(1,0,...,0) +α2 (0,1,...,0) +... +αn (0,0,...,1) =

=α1e1 +α2 e2 +... +αn en

Отсюда следует, что числа α1,α2 ,......,αn можно рассматривать как координаты вектора х = (α1,α2 ,...,αn )Т в базисе е1,е2 ,....,еn пространства Rn .

57

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

3. Rn – пространство, векторами которого являются многочлены степени меньшей

в этом базисе P(t) имеет координаты P(a), P'(a),... P(n−1) (a) . (n −1)!

5.4. Изоморфизм векторных пространств

Определение. Векторные пространства R и R’ называются изоморфными, если между их векторами-элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если x ↔ x′ и y ↔ y′, где x, y R , x′, y′ R′, то x + y ↔ x′ + y′ и λx ↔ λx′.

Из определения изоморфизма следует, что если x, y ,... – векторы из R, a x′, y′,... – вектора из R', то равенство αx + βy +... = 0 равносильно равенству αx′+ βy′+... = 0′. Сле-

довательно, линейно независимым векторам из R соответствуют линейно независимые векторы из R' и обратно.

Пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. В самом деле, пусть R и R' изоморфны. Тогда максимальное число линейно независимых векторов в R и R' одно и то же, т.е. размерности пространств R и R' равны.

Все пространства, имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны между собой.

5.5. Преобразование координат при изменении базиса

Пусть e1, e2 ,..., en и e1′, e2′,..., en′ – два базиса пространства Rn. Каждый вектор ei′, i =1, n можно выразить через векторы ei , i =1, n :

причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрица.

Матрица А называется матрицей перехода от базиса ei к базису ei′.

58

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определитель матрицы А отличен от нуля, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы e1′, e2′,..., en′ были бы линейно зависимы.

Рассмотрим, как связаны между собой координаты одного и того же вектора x в старом и новом базисах. Пусть

вектора x преобразуются с помощью матрицы А-1, являющейся обратной к транспонированной матрице, задающей преобразование базисов.

59

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА